Avant de pouvoir prouver qu’une suite est majorée par un nombre $M$, il faut d’abord savoir… quel nombre $M$ choisir ! Cette étape d’intuition, ou de conjecture, est souvent la plus délicate. Voici plusieurs astuces efficaces pour « deviner » un bon candidat pour le majorant.
Trouver un majorant n’est pas un processus de calcul direct, mais plutôt une enquête. L’objectif est de trouver un nombre simple et crédible qui semble borner la suite. Une fois ce candidat trouvé, on peut alors utiliser les méthodes de démonstration (récurrence, étude de fonction, etc.) pour valider notre intuition.
Astuce 1 : Calculer les premiers termes
C’est le premier réflexe à avoir. Calculer $u_0, u_1, u_2, u_3, \dots$ permet souvent de voir si la suite semble s’approcher d’une valeur « plafond ».
Exemple : Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \frac{4n}{n+1}$.
$u_0 = \frac{0}{1} = 0$
$u_1 = \frac{4}{2} = 2$
$u_2 = \frac{8}{3} \approx 2.67$
$u_3 = \frac{12}{4} = 3$
$u_{10} = \frac{40}{11} \approx 3.64$
$u_{100} = \frac{400}{101} \approx 3.96$
Conjecture : Les termes semblent augmenter et se rapprocher de 4 sans jamais l’atteindre. Un bon candidat pour le majorant est M = 4.
Astuce 2 : Étudier la limite de la suite
Si une suite est croissante et convergente, sa limite est le plus petit de ses majorants (sa borne supérieure). Si la suite n’est pas monotone mais qu’elle converge, sa limite est aussi une bonne piste.
Exemple : Reprenons $u_n = \frac{4n}{n+1}$.
On cherche la limite en $+\infty$ :
$\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{4n}{n(1+\frac{1}{n})} = \lim_{n \to +\infty} \frac{4}{1+\frac{1}{n}} = 4$.
La limite est 4. Cela confirme que M = 4 est un excellent candidat.
Astuce 3 : Pour les suites récurrentes, chercher les points fixes
Pour une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$, si la suite converge, sa limite $L$ doit vérifier l’équation $L = f(L)$. Les solutions de cette équation, appelées points fixes de $f$, sont les meilleurs candidats pour le majorant (ou le minorant).
Exemple : Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$.
On résout l’équation aux points fixes $x = f(x)$ :
$x = \sqrt{x+6} \implies x^2 = x+6$ (pour $x \ge 0$)
$x^2 – x – 6 = 0$. Les solutions sont $x_1 = 3$ et $x_2 = -2$.
Comme la suite est à termes positifs (racine carrée), la seule limite potentielle est 3.
Conjecture : On peut supposer que la suite est majorée par M = 3. L’illustration ci-dessous montre comment la suite « monte en escalier » vers ce point fixe.
Ces astuces ne constituent pas une preuve ! Elles servent uniquement à trouver un candidat plausible. Une fois que vous avez votre conjecture (par exemple, « la suite semble majorée par 4 »), vous devez impérativement le démontrer rigoureusement en utilisant une des méthodes formelles :
- L’étude de la différence $M – u_n$.
- L’étude de la fonction associée $f(n)$ pour prouver que $f(n) \le M$.
- Le raisonnement par récurrence pour les suites de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$.