Atlas maximal : Fondements de la structure différentiable
L’atlas maximal est l’objet central qui caractérise de manière canonique la structure différentiable d’une variété. Il synthétise l’ensemble des cartes locales compatibles. Pour le construire, on part d’un atlas initial, c’est-à-dire une collection de cartes locales vérifiant certaines conditions de recouvrement et de compatibilité.
Définitions formelles
Soit $M$ un ensemble muni d’une topologie de Hausdorff et séparable. Une carte locale est un couple $(U, \varphi)$ où $U \subset M$ est un ouvert et $\varphi : U \to \varphi(U) \subset \mathbb{R}^n$ est un homéomorphisme sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$. La dimension $n$ est alors la dimension de la variété.
Deux cartes $(U, \varphi)$ et $(V, \psi)$ sont $\mathcal{C}^r$-compatibles si les applications de changement de cartes $\psi \circ \varphi^{-1} : \varphi(U \cap V) \to \psi(U \cap V)$ et $\varphi \circ \psi^{-1}$ sont de classe $\mathcal{C}^r$ (où $r \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$).
Un atlas de classe $\mathcal{C}^r$ sur $M$ est une collection $\mathcal{A} = \{(U_i, \varphi_i)\}_{i \in I}$ de cartes $\mathcal{C}^r$-compatibles entre elles, telle que $\bigcup_{i \in I} U_i = M$.
L’atlas maximal (ou atlas complet) de classe $\mathcal{C}^r$ associé à un atlas $\mathcal{A}$ est l’ensemble de toutes les cartes $(V, \psi)$ sur $M$ qui sont $\mathcal{C}^r$-compatibles avec chaque carte de $\mathcal{A}$. On le note $\overline{\mathcal{A}}$ ou $\mathcal{A}_{\text{max}}$.
Théorème d’existence et d’unicité
Théorème 1 : Soit $\mathcal{A}$ un atlas de classe $\mathcal{C}^r$ sur $M$. Alors l’atlas maximal $\overline{\mathcal{A}}$ est un atlas de classe $\mathcal{C}^r$ qui contient strictement $\mathcal{A}$ (sauf si $\mathcal{A}$ est déjà maximal).
De plus, si $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ sont deux atlas $\mathcal{C}^r$ sur $M$, alors soit ils sont incompatibles (aucune carte de l’un n’est compatible avec les cartes de l’autre), soit leurs atlas maximaux coïncident : $\overline{\mathcal{A}} = \overline{\mathcal{B}}$.
Preuve du théorème 1
Preuve : Par définition, $\overline{\mathcal{A}}$ est l’ensemble des cartes compatibles avec $\mathcal{A}$. Montrons que c’est un atlas. La condition de recouvrement est évidente car toute carte de $\mathcal{A}$ est dans $\overline{\mathcal{A}}$. La compatibilité entre deux cartes $(V, \psi)$ et $(W, \chi)$ de $\overline{\mathcal{A}}$ s’obtient en considérant une carte $(U, \varphi)$ de $\mathcal{A}$ dont on sait qu’elle est compatible avec $\psi$ et $\chi$. Sur $V \cap W \cap U$, on a :
$$\chi \circ \psi^{-1} = (\chi \circ \varphi^{-1}) \circ (\varphi \circ \psi^{-1})$$
Les deux termes à droite sont $\mathcal{C}^r$ comme composition de $\mathcal{C}^r$. Donc $\chi \circ \psi^{-1}$ est $\mathcal{C}^r$. Par ailleurs, si $\mathcal{A} \neq \overline{\mathcal{A}}$, il existe une carte dans $\overline{\mathcal{A}} \setminus \mathcal{A}$ par construction, donc la stricte containtion. Pour l’unicité, supposons $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ compatibles. Alors toute carte compatible avec $\mathcal{A}$ est compatible avec $\mathcal{B}$ (car $\mathcal{B} \subset \overline{\mathcal{A}}$) et réciproquement, donc $\overline{\mathcal{A}} = \overline{\mathcal{B}}$. $\blacksquare$
Exemples et contre-exemples
Exemple 1 : Sur le cercle $S^1$, considérons l’atlas standard $\mathcal{A} = \{(U_+, \varphi_+), (U_-, \varphi_-)\}$ avec $U_+ = S^1 \setminus \{(1,0)\}$, $\varphi_+(x,y) = \frac{y}{1-x}$ (projection stéréographique depuis le pôle sud) et $U_- = S^1 \setminus \{(-1,0)\}$ de manière similaire. L’atlas maximal $\overline{\mathcal{A}}$ contient toutes les projections stéréographiques depuis n’importe quel point, toutes les cartes obtenues par difféomorphismes de $\mathbb{R}$ (comme ${x \mapsto x^3}$) et bien d’autres. Il est important de noter qu’une carte comme $(S^1, \text{id}_{S^1})$ n’appartient pas à $\overline{\mathcal{A}}$ car l’identité n’est pas une application de $\mathbb{R}$.
Contre-exemple : Considérons sur $\mathbb{R}^n$ l’atlas trivial $\mathcal{A}_0 = \{(\mathbb{R}^n, \text{id})\}$. Son atlas maximal est l’ensemble desDifféomorphismes $\mathcal{C}^r$ de $\mathbb{R}^n$ sur des ouverts de $\mathbb{R}^n$. Maintenant, prenons $\mathcal{A}_1 = \{(\mathbb{R}^n, \psi)\}$ où $\psi(x) = x^3$ (coordonnées curvilignes). Les deux atlas ne sont pas compatibles car $\text{id} \circ \psi^{-1} = \sqrt[3]{x}$ n’est pas $\mathcal{C}^1$ en $0$. Donc $\overline{\mathcal{A}_0} \cap \overline{\mathcal{A}_1} = \emptyset$ et $\mathbb{R}^n$ peut porter deux structures différentiables distinctes.
Construction effective et implications
Pour tout atlas $\mathcal{A}$, l’atlas maximal $\overline{\mathcal{A}}$ est la réunion de tous les atlas compatibles avec $\mathcal{A}$. Cette réunion est dirigée par l’inclusion et vérifie la condition de compatibilité. Du point de vue des fonctions différentiables, une fonction $f : M \to N$ entre variétés est $\mathcal{C}^r$ si et seulement si ses expressions coordonnées $f_{(\varphi,\psi)} = \psi \circ f \circ \varphi^{-1}$ sont $\mathcal{C}^r$ pour une (et donc toute) carte $(V,\psi)$ de l’atlas maximal de $N$ et toute carte $(U,\varphi)$ de l’atlas maximal de $M$.
La transitivité de la compatibilité implique que deux atlas maximaux sur un même ensemble sous-jacent sont soit égaux, soit disjoints. Ainsi, une variété différentiable peut être définie de manière équivalente comme un ensemble $M$ muni d’un atlas maximal. L’atlas maximal est donc l’équivalence de l’atlas initial modulo la compatibilité.
Lien avec la structure différentiable
La donnée d’un atlas maximal équivaut à la donnée d’un fibre总 principal de difféomorphismes locaux. En effet, l’atlas maximal peut être vu comme la section locale d’un faisceau. Cela permet de définir le fibré tangent $TM$ comme le fibré associé à l’atlas maximal via le foncteur de dérivation. La transitivité de l’atlas maximal garantit que l’opération est bien définie.
Résumé et compléments
L’atlas maximal est la clé pour une définition intrinsèque de la différentiabilité. Il élimine toute dépendance au choix d’un atlas particulier. Toute propriété différentielle (fonctions lisses, champs de vecteurs, etc.) ne dépend que de l’atlas maximal.
Pour approfondir, consultez les cours détaillés sur les ressources de KeepMath. La page CultureMath offre également des références bibliographiques essentielles sur la géométrie différentielle.
Exercice-type
Montrer que si $\mathcal{A}$ est un atlas compatible avec $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}$ compatible avec $\mathcal{C}$, alors $\mathcal{A}$ est compatible avec $\mathcal{C}$. En déduire que la relation « être compatible » est une relation d’équivalence sur l’ensemble des atlas.