Auteur/autrice : zu6vi

Théorème d’Euclide sur l’Infinité des Nombres Premiers Contexte : Nombres Premiers Un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1 qui n’est divisible que par 1 et par lui-même. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc. Le théorème fondamental de l’arithmétique nous apprend que tout entier supérieur à 1…

Théorème Fondamental de l’Arithmétique Contexte : Nombres Premiers et Composés Un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1 qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même (par exemple 2, 3, 5, 7, 11…). Un entier naturel supérieur à 1 qui n’est pas premier est dit composé. Il peut être « cassé » en un…

Théorème de Baker Contexte : Formes Linéaires en Logarithmes En théorie des nombres transcendants, on étudie les propriétés arithmétiques de nombres comme $e$ ou $\pi$. Un problème central est de comprendre la nature des formes linéaires en logarithmes. Soient $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ des nombres algébriques non nuls. Une forme linéaire en leurs logarithmes est une…

Théorème de Thue-Siegel-Roth Contexte : Approximation Diophantienne L’approximation diophantienne est la branche des mathématiques qui étudie la qualité avec laquelle les nombres réels peuvent être approchés par des nombres rationnels. Un nombre réel $\alpha$ est dit algébrique s’il est racine d’un polynôme non nul à coefficients entiers. Par exemple, $\sqrt{2}$ est algébrique car il est…

Théorème de Finitude de Siegel Contexte : Points Entiers sur les Courbes Algébriques Une équation diophantienne est une équation polynomiale à coefficients entiers dont on cherche les solutions entières. Géométriquement, l’ensemble des solutions (réelles ou complexes) d’une équation polynomiale $P(x,y)=0$ forme une courbe algébrique. Chercher les solutions entières revient à chercher les points de cette…

Théorème de Green-Tao Contexte : Progressions Arithmétiques Une progression arithmétique de longueur $k$ est une suite de $k$ nombres de la forme : $$ a, a+d, a+2d, \dots, a+(k-1)d $$ où $a$ est le premier terme et $d$ est la raison. Le théorème de van der Waerden (1927) affirme que si l’on colorie les entiers…

Postulat de Bertrand Contexte : La Raréfaction des Nombres Premiers Le théorème d’Euclide nous assure qu’il existe une infinité de nombres premiers. Cependant, le théorème des nombres premiers nous apprend qu’ils se raréfient à mesure que l’on considère des nombres de plus en plus grands. Une question naturelle se pose alors : peut-on garantir que…

Théorème de Dirichlet sur la Progression Arithmétique Contexte : Nombres Premiers et Progressions Arithmétiques Une progression arithmétique est une suite de nombres de la forme $a, a+n, a+2n, a+3n, \dots$, où $a$ est le premier terme et $n$ est la raison. Le théorème d’Euclide nous apprend qu’il existe une infinité de nombres premiers. Une question…

Théorème des Quatre Carrés de Lagrange Contexte : Sommes de Carrés En théorie des nombres, un problème classique est de déterminer si un entier peut être écrit comme la somme de carrés d’autres entiers. Certains entiers sont des sommes de deux carrés (ex: $5 = 1^2 + 2^2$, $13 = 2^2 + 3^2$), mais beaucoup…

Théorème de Wilson Contexte : Arithmétique Modulaire et Factorielles Ce théorème utilise la notion de congruence modulo n ($a \equiv b \pmod{n}$), qui signifie que $a$ et $b$ ont le même reste dans la division par $n$. Il fait également intervenir la factorielle d’un entier $k$, notée $k!$, qui est le produit de tous les…