Développement Limité à l’Ordre Deux Le développement limité à l’ordre deux est une approximation d’une fonction régulière au voisinage d’un point par un polynôme de degré deux. Alors que l’approximation d’ordre un (affine) donne le…
La Formule de Taylor-Young La formule de Taylor-Young est l’un des outils les plus puissants de l’analyse à plusieurs variables. Elle généralise les développements limités des fonctions d’une variable et permet d’approcher localement une fonction…
Égalité des Dérivées Croisées L’une des propriétés les plus remarquables et utiles du calcul différentiel à plusieurs variables est la possibilité, sous certaines conditions de régularité, d’intervertir l’ordre de dérivation. C’est-à-dire que dériver par rapport…
Notion de Fonctions Harmoniques Les fonctions harmoniques sont une classe de fonctions extrêmement importantes en mathématiques et en physique. Ce sont les fonctions « les plus lisses possibles » qui décrivent des états d’équilibre. Formellement, ce sont…
Définition de l’Opérateur Laplacien L’opérateur Laplacien est un opérateur différentiel du second ordre qui agit sur les champs scalaires. On l’obtient en composant les deux opérateurs du premier ordre que nous avons étudiés : le…
Formule de Composition des Différentielles La « règle de la chaîne » (ou « chain rule ») est l’un des théorèmes les plus puissants du calcul différentiel. Elle explique comment différentier la composition de deux fonctions. Si la différentielle…
Différentielles d’Ordre Supérieur Tout comme on peut dériver une fonction plusieurs fois de suite, on peut « différentier » une fonction plusieurs fois. La différentielle première $df$ est une application qui à chaque point $a$ associe une…
La Matrice Hessienne d’une Fonction Tout comme le gradient rassemble les informations de premier ordre (les pentes), la matrice Hessienne rassemble toutes les informations de second ordre (les courbures) d’une fonction scalaire en un point.…
Applications du Théorème de Schwarz Le théorème de Schwarz, qui affirme l’égalité des dérivées partielles mixtes pour les fonctions suffisamment régulières, n’est pas seulement une curiosité théorique. C’est un résultat puissant avec des conséquences directes…
Le Théorème de Schwarz Lorsqu’on calcule les dérivées partielles secondes d’une fonction de plusieurs variables, une question naturelle se pose : l’ordre dans lequel on effectue les dérivations a-t-il une importance ? Autrement dit, est-ce…