Définition du Groupe Alterné Aₙ Définition du Groupe Alterné $\mathcal{A}_n$ Le groupe alterné est un sous-groupe fondamental du groupe symétrique $\mathcal{S}_n$. Il est constitué de toutes les permutations "paires", c'est-à-dire…
Signature d'une Permutation Signature d'une Permutation La signature est une propriété fondamentale d'une permutation qui la classe en deux catégories : "paire" ou "impaire". Cette notion est cruciale pour définir…
Support et Ordre d'une Permutation Support et Ordre d'une Permutation Deux notions clés pour comprendre la structure d'une permutation sont son support (les éléments qu'elle déplace effectivement) et son ordre…
Le Groupe des Permutations Sₙ Le Groupe des Permutations $\mathcal{S}_n$ Le groupe symétrique, ou groupe des permutations, est un exemple central et fondamental en théorie des groupes. Il décrit toutes…
Exemple : Le Groupe Z/nZ Exemple Fondamental : Le Groupe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ Le groupe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (lire "Z sur nZ") est l'exemple le plus important et le plus accessible de groupe quotient.…
Correspondance entre les Sous-Groupes Correspondance entre les Sous-Groupes Les théorèmes d'isomorphisme ont une conséquence structurelle très importante, souvent appelée le théorème de correspondance. Il établit un lien direct et bijectif…
Troisième Théorème d'Isomorphisme Troisième Théorème d'Isomorphisme Le troisième théorème d'isomorphisme, parfois appelé "théorème de simplification", explique comment fonctionne un "quotient d'un quotient". Il montre que si l'on quotiente un groupe…
Deuxième Théorème d'Isomorphisme Deuxième Théorème d'Isomorphisme Le deuxième théorème d'isomorphisme, parfois appelé "théorème de la factorisation" ou "théorème du losange", décrit la structure du quotient d'un sous-groupe par l'intersection avec…
Applications du Premier Théorème d'Isomorphisme Applications du Premier Théorème d'Isomorphisme Le premier théorème d'isomorphisme n'est pas seulement un résultat théorique ; c'est un outil de calcul et de raisonnement extrêmement…
Premier Théorème d'Isomorphisme Premier Théorème d'Isomorphisme Le premier théorème d'isomorphisme (parfois appelé théorème de factorisation) est un résultat absolument fondamental en théorie des groupes. Il établit un lien direct et…