Complétion d’un Espace Métrique Nous avons vu que certains espaces métriques, comme $\mathbb{Q}$, ne sont pas complets : ils ont des « trous » qui correspondent aux limites de certaines suites de Cauchy. La procédure de complétion… 

Notion d’Isométrie entre Espaces Une isométrie est une transformation entre deux espaces métriques qui préserve les distances. C’est la notion la plus forte d’équivalence « géométrique » entre deux espaces. Intuitivement, deux espaces sont isométriques s’ils sont… 

Distances Usuelles sur $\mathbb{R}^n$ Bien que la distance euclidienne soit la plus intuitive, elle n’est pas la seule manière de mesurer la « proximité » entre deux points dans $\mathbb{R}^n$. Il existe plusieurs autres distances, chacune correspondant… 

Le Théorème des Fermés Emboîtés Le théorème des fermés emboîtés (ou théorème d’intersection de Cantor) est une conséquence directe et très imagée de la complétude. Il affirme que si l’on considère une suite de « poupées… 

Définition d’un Espace Complet La notion de complétude est une propriété cruciale pour un espace métrique. Elle garantit que l’espace n’a pas de « trous ». Intuitivement, dans un espace complet, toute suite dont les termes se… 

Définition des Suites de Cauchy La notion de suite de Cauchy est une idée centrale en analyse, qui permet de caractériser la convergence d’une suite sans faire référence à sa limite potentielle. Intuitivement, une suite… 

Topologie Induite par une Distance Toute distance définie sur un ensemble permet de construire naturellement une structure d’espace topologique sur cet ensemble. La topologie ainsi créée, appelée topologie métrique ou topologie induite par la distance,… 

Définition d’un Espace Métrique Un espace métrique est un concept fondamental qui généralise la notion de « distance » entre des points. C’est un type particulier d’espace topologique où la topologie est construite à partir d’une fonction… 

Notion d’Espaces Localement Connexes La connexité locale est une propriété topologique qui s’intéresse au comportement d’un espace au voisinage de chaque point. Un espace peut être globalement connexe (d’un seul tenant) sans pour autant l’être… 

Produit d’Espaces Connexes Comme pour la compacité (avec le théorème de Tychonoff), la connexité est une propriété topologique qui se comporte bien avec l’opération de produit. Si l’on combine des espaces « d’un seul tenant », l’espace…