Définition d’un Plongement Topologique Un plongement topologique est une manière de voir un espace topologique comme un sous-espace d’un autre. Il s’agit d’une fonction qui non seulement préserve la structure topologique de l’espace de départ,… 

Continuité et Composition de Fonctions Une propriété fondamentale et très utile en analyse est que la composition de deux fonctions continues est elle-même une fonction continue. Ce résultat permet de construire des fonctions continues complexes… 

Propriétés Topologiques Invariantes Si deux espaces topologiques sont homéomorphes, ils partagent les mêmes « propriétés topologiques ». Ces propriétés, qui sont conservées par homéomorphisme, sont appelées des invariants topologiques. Elles sont extrêmement utiles pour prouver que deux… 

Exemples Fondamentaux d’Homéomorphismes Pour bien comprendre la notion d’homéomorphisme, il est essentiel d’étudier des exemples concrets. Ces exemples montrent comment des objets géométriques a priori différents peuvent être considérés comme « les mêmes » du point de… 

Définition d’un Homéomorphisme En topologie, on ne s’intéresse pas aux notions de distance ou d’angle, mais plutôt aux propriétés qui sont conservées par « déformation continue ». L’homéomorphisme est la notion qui formalise cette idée d’équivalence topologique.… 

Continuité et Image Réciproque d’Ouverts La définition la plus fondamentale de la continuité dans le cadre de la topologie générale repose sur la notion d’ensemble ouvert. Une fonction est considérée comme continue si elle « respecte »… 

Définition de la Continuité Topologique En analyse réelle, la continuité d’une fonction en un point est définie avec les notions de limites (en $\epsilon$-$\delta$). La topologie générale permet d’étendre cette idée à un cadre beaucoup… 

Ensembles Nulle Part Denses La notion d’ensemble « nulle part dense » formalise l’idée d’un ensemble qui est « petit » ou « maigre » d’un point de vue topologique. Contrairement à un ensemble dense qui remplit l’espace, un ensemble nulle… 

Exemple Fondamental : La Densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ L’exemple le plus emblématique de la notion de densité est celui de l’ensemble des nombres rationnels ($\mathbb{Q}$) au sein de l’ensemble des nombres réels ($\mathbb{R}$). Cet… 

Notion d’Ensemble Dense Intuitivement, dire qu’une partie $A$ est dense dans un espace $X$ signifie que les points de $A$ sont « répartis partout » dans $X$. On peut approcher n’importe quel point de $X$ d’aussi près…