Axiomes de Définition d’une Topologie
Pour parler d’ouverts, de fermés, de voisinages ou de continuité, il faut d’abord définir un cadre. Ce cadre est l’espace topologique. Il est défini par un ensemble $X$ et une collection de ses parties, appelée topologie, qui doit respecter trois règles fondamentales (les axiomes). Ces règles garantissent que les « ouverts » se comportent de manière cohérente.
Soit $X$ un ensemble non vide. Une topologie sur $X$ est une collection $\mathcal{T}$ de sous-ensembles de $X$ (appelés les ouverts) qui vérifie les trois axiomes suivants :
- (Axiome 1) L’ensemble vide $\emptyset$ et l’ensemble $X$ tout entier appartiennent à $\mathcal{T}$. $$ \emptyset \in \mathcal{T} \quad \text{et} \quad X \in \mathcal{T} $$
- (Axiome 2) Toute union (finie ou infinie) d’ensembles de $\mathcal{T}$ appartient à $\mathcal{T}$. Autrement dit, si $(O_i)_{i \in I}$ est une famille d’ouverts, alors leur union est un ouvert : $$ \forall (O_i)_{i \in I} \in \mathcal{T}^I, \quad \bigcup_{i \in I} O_i \in \mathcal{T} $$
- (Axiome 3) Toute intersection finie d’ensembles de $\mathcal{T}$ appartient à $\mathcal{T}$. Autrement dit, si $O_1, O_2, \dots, O_n$ sont des ouverts, alors leur intersection est un ouvert : $$ \forall n \in \mathbb{N}^*, \forall (O_1, \dots, O_n) \in \mathcal{T}^n, \quad \bigcap_{i=1}^n O_i \in \mathcal{T} $$
Le couple $(X, \mathcal{T})$ est alors appelé un espace topologique.
Exemple Simple
Soit l’ensemble $X = \{a, b, c\}$. La collection de parties $\mathcal{T} = \{ \emptyset, \{a\}, \{a, b\}, X \}$ est-elle une topologie sur $X$ ?
- Axiome 1 : $\emptyset \in \mathcal{T}$ et $X \in \mathcal{T}$. (Vérifié)
- Axiome 2 (Unions) :
$\{a\} \cup \{a, b\} = \{a, b\} \in \mathcal{T}$.
Toutes les autres unions sont triviales. (Vérifié) - Axiome 3 (Intersections finies) :
$\{a\} \cap \{a, b\} = \{a\} \in \mathcal{T}$.
Toutes les autres intersections sont triviales. (Vérifié)
Conclusion : Oui, $(X, \mathcal{T})$ est un espace topologique.
Pourquoi ces axiomes ?
Ces trois règles ne sont pas arbitraires. Elles généralisent les propriétés observées pour les intervalles ouverts sur la droite réelle $\mathbb{R}$, qui sont le prototype des ensembles ouverts.
- L’union d’intervalles ouverts est bien un ensemble ouvert.
- L’intersection de deux intervalles ouverts est soit vide, soit un intervalle ouvert.
Attention, une intersection infinie d’ouverts n’est pas forcément un ouvert. Par exemple, $\bigcap_{n=1}^\infty ]-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}[ = \{0\}$, qui est un ensemble fermé dans $\mathbb{R}$. C’est pourquoi l’axiome 3 est restreint aux intersections finies.