Définitions formelles des barycentres
Espace affine
Soit $\mathcal{E}$ un espace affine associé à un espace vectoriel $\vec{E}$ sur $\mathbb{R}$. Pour deux points $A, B \in \mathcal{E}$, le vecteur $\vec{AB} \in \vec{E}$ est défini par la relation de Chasles :
$$ \vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB} \qquad \forall C \in \mathcal{E}. $$Système de points pondérés
Un système de points pondérés est une famille finie
$$ \big\{(A_1, \alpha_1), (A_2, \alpha_2), \dots, (A_n, \alpha_n)\big\}, $$où les $A_i \in \mathcal{E}$ sont des points et les $\alpha_i \in \mathbb{R}$ sont des scalaires appelés poids ou coefficients.
Définition du barycentre
Soit $\{(A_1, \alpha_1), \dots, (A_n, \alpha_n)\}$ un système de points pondérés tel que
$$ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \neq 0. $$Le barycentre de ce système est l’unique point $G \in \mathcal{E}$ vérifiant
$$ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, \vec{GA_i} = \vec{0}. $$On note $G = \text{bar}\big\{(A_1, \alpha_1), \dots, (A_n, \alpha_n)\big\}$.
Cas particulier : milieu d’un segment
Le milieu $M$ de $[A, B]$ est le barycentre de $\{(A, 1), (B, 1)\}$ :
$$ \vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}. $$Cas particulier : centre de gravité d’un triangle
Le centre de gravité (isobarycentre) d’un triangle $ABC$ est le barycentre de $\{(A,1),(B,1),(C,1)\}$ :
$$ \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}. $$Théorèmes fondamentaux sur les barycentres
Théorème d’existence et d’unicité
Soit $\{(A_1, \alpha_1), \dots, (A_n, \alpha_n)\}$ un système pondéré avec $\sum_{i=1}^{n} \alpha_i \neq 0$. Il existe un unique point $G \in \mathcal{E}$ tel que
$$ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, \vec{GA_i} = \vec{0}. $$Preuve :
Existence. Fixons un point quelconque $O \in \mathcal{E}$. Posons
$$ \vec{OG} = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i} \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, \vec{OA_i}. $$Ce vecteur est bien défini car $\sum \alpha_i \neq 0$. Vérifions que $G$ convient. Par la relation de Chasles, $\vec{GA_i} = \vec{GO} + \vec{OA_i} = -\vec{OG} + \vec{OA_i}$. Donc
$$ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, \vec{GA_i} = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \big(\vec{OA_i} – \vec{OG}\big) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, \vec{OA_i} – \left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\right) \vec{OG}. $$En remplaçant $\vec{OG}$ par sa définition,
$$ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, \vec{GA_i} = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, \vec{OA_i} – \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, \vec{OA_i} = \vec{0}. $$Unicité. Supposons que $G$ et $G’$ vérifient tous les deux la condition. Alors
$$ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, \vec{GA_i} = \vec{0} \qquad \text{et} \qquad \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, \vec{G’A_i} = \vec{0}. $$Par soustraction, en écrivant $\vec{GA_i} = \vec{GG’} + \vec{G’A_i}$,
$$ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \big(\vec{GG’} + \vec{G’A_i}\big) = \vec{0} \implies \left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\right) \vec{GG’} + \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, \vec{G’A_i} = \vec{0}. $$Comme $\sum \alpha_i \, \vec{G’A_i} = \vec{0}$, il vient
$$ \left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\right) \vec{GG’} = \vec{0}. $$Or $\sum \alpha_i \neq 0$, donc $\vec{GG’} = \vec{0}$, c’est-à-dire $G = G’$. $\blacksquare$
Théorème de la réduction vectorielle
Soit $G$ le barycentre de $\{(A_1, \alpha_1), \dots, (A_n, \alpha_n)\}$. Alors, pour tout point $M \in \mathcal{E}$ :
$$ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, \vec{MA_i} = \left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\right) \vec{MG}. $$Preuve :
Par la relation de Chasles, $\vec{MA_i} = \vec{MG} + \vec{GA_i}$. Donc
$$ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, \vec{MA_i} = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i (\vec{MG} + \vec{GA_i}) = \left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\right) \vec{MG} + \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, \vec{GA_i}. $$Par définition de $G$, $\sum \alpha_i \, \vec{GA_i} = \vec{0}$. D’où
$$ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, \vec{MA_i} = \left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\right) \vec{MG}. \quad \blacksquare $$Théorème d’associativité des barycentres
Soit $\{(A_1,\alpha_1),\dots,(A_n,\alpha_n)\}$ un système pondéré de masse totale non nulle. Formons une partition de l’ensemble d’indices $\{1,\dots,n\} = I_1 \sqcup I_2 \sqcup \cdots \sqcup I_k$ telle que
$$ \forall j \in \{1,\dots,k\},\qquad \mu_j = \sum_{i \in I_j} \alpha_i \neq 0. $$Notons $G_j$ le barycentre partiel du sous-système $\{(A_i, \alpha_i)\}_{i \in I_j}$. Alors
$$ G = \text{bar}\big\{(G_1, \mu_1), (G_2, \mu_2), \dots, (G_k, \mu_k)\big\}. $$Preuve :
Par définition de $G_j$, pour tout point $M \in \mathcal{E}$ :
$$ \sum_{i \in I_j} \alpha_i \, \vec{MA_i} = \mu_j \, \vec{MG_j}. $$En sommant sur $j = 1, \dots, k$ :
$$ \sum_{j=1}^{k} \sum_{i \in I_j} \alpha_i \, \vec{MA_i} = \sum_{j=1}^{k} \mu_j \, \vec{MG_j}. $$Le membre de gauche est $\sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, \vec{MA_i}$. Par le théorème de réduction appliqué au barycentre global $G$ :
$$ \left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\right) \vec{MG} = \sum_{j=1}^{k} \mu_j \, \vec{MG_j}. $$Or $\sum_{i=1}^{n} \alpha_i = \sum_{j=1}^{k} \mu_j$, donc
$$ \left(\sum_{j=1}^{k} \mu_j\right) \vec{MG} = \sum_{j=1}^{k} \mu_j \, \vec{MG_j}. $$Cela signifie exactement que $G$ est le barycentre de $\{(G_1, \mu_1), \dots, (G_k, \mu_k)\}$. $\blacksquare$
Coordonnées du barycentre
Expression dans un repère
Soit $(O, \vec{e_1}, \dots, \vec{e_d})$ un repère de l’espace affine. Si le point $A_i$ a pour coordonnées $(x_i^{(1)}, \dots, x_i^{(d)})$, alors le barycentre $G$ a pour coordonnées
$$ G = \left( \frac{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, x_i^{(1)}}{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i}, \dots, \frac{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, x_i^{(d)}}{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i} \right). $$Preuve :
Par la formule de réduction avec $M = O$ :
$$ \vec{OG} = \frac{1}{\sum \alpha_i} \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, \vec{OA_i}. $$En projetant sur chaque coordonnée $k \in \{1, \dots, d\}$ :
$$ G^{(k)} = \frac{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, x_i^{(k)}}{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i}. \quad \blacksquare $$Exemples géométriques des barycentres
Exemple 1 : barycentre de deux points dans $\mathbb{R}^2$
Soient $A = (1, 3)$ et $B = (5, 7)$ avec les poids $\alpha = 2$ et $\beta = 3$.
$$ G = \frac{\alpha A + \beta B}{\alpha + \beta} = \frac{2(1,3) + 3(5,7)}{2+3} = \frac{(2,6)+(15,21)}{5} = \frac{(17,27)}{5}. $$Donc
$$ G = \left(\frac{17}{5}, \frac{27}{5}\right). $$On vérifie que $G$ est situé sur le segment $[A,B]$, plus proche de $B$ car le poids de $B$ est supérieur.
Exemple 2 : centre de gravité d’un triangle
Soient $A=(0,0)$, $B=(6,0)$, $C=(0,6)$ avec des poids égaux $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=1$.
$$ G = \frac{A + B + C}{3} = \frac{(0,0)+(6,0)+(0,6)}{3} = \frac{(6,6)}{3} = (2,2). $$Vérifions la propriété caractéristique :
$$ \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = (-2,-2) + (4,-2) + (-2,4) = (0,0) = \vec{0}. \quad \checkmark $$Exemple 3 : associativité appliquée
Soient quatre points $A=(0,0)$, $B=(4,0)$, $C=(4,4)$, $D=(0,4)$ avec les poids $(\alpha_A,\alpha_B,\alpha_C,\alpha_D) = (1,2,1,2)$.
Regroupons : $\{A,B\}$ et $\{C,D\}$.
$$ G_1 = \text{bar}\{(A,1),(B,2)\} = \frac{1 \cdot (0,0)+2 \cdot (4,0)}{1+2} = \frac{(8,0)}{3} = \left(\frac{8}{3},0\right). $$ $$ \mu_1 = 1 + 2 = 3. $$ $$ G_2 = \text{bar}\{(C,1),(D,2)\} = \frac{1 \cdot (4,4)+2 \cdot (0,4)}{1+2} = \frac{(4,12)}{3} = \left(\frac{4}{3},4\right). $$ $$ \mu_2 = 1 + 2 = 3. $$Par associativité,
$$ G = \text{bar}\{(G_1, 3),(G_2, 3)\} = \frac{G_1 + G_2}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{8}{3}+\frac{4}{3}, 0+4\right) = \frac{1}{2}\left(4, 4\right) = (2, 2). $$On vérifie directement :
$$ G = \frac{1 \cdot(0,0)+2 \cdot(4,0)+1 \cdot(4,4)+2 \cdot(0,4)}{6} = \frac{(0,0)+(8,0)+(4,4)+(0,8)}{6} = \frac{(12,12)}{6} = (2,2). \quad \checkmark $$Contre-exemple : masse totale nulle
Absence de barycentre
Considérons $A=(0,0)$ et $B=(1,0)$ avec les poids $\alpha = 1$ et $\beta = -1$.
$$ \sum \alpha_i = 1 + (-1) = 0. $$La condition $\sum \alpha_i \neq 0$ n’est pas satisfaite. Cherchons un point $G = (x,y)$ tel que
$$ 1 \cdot \vec{GA} + (-1) \cdot \vec{GB} = \vec{0}. $$ $$ \vec{GA} – \vec{GB} = \vec{0} \implies \vec{BA} = \vec{0} \implies (-1,0) = (0,0). $$Ceci est absurde. Aucun point $G$ ne satisfait la relation. Le barycentre n’existe pas lorsque la masse totale est nulle.
En revanche, la quantité $\sum \alpha_i \vec{MA_i}$ est bien définie et ne dépend pas du point $M$. En effet, dans ce cas :
$$ \sum \alpha_i \vec{MA_i} = 1 \cdot \vec{MA} – 1 \cdot \vec{MB} = \vec{BA}, $$qui est un vecteur constant. On obtient alors un vecteur barycentrique au lieu d’un point.
Propriété : lien avec les coordonnées barycentriques
Définition des coordonnées barycentriques
Soit $(A_0, A_1, \dots, A_d)$ un repère affine de $\mathcal{E}$ (les $A_i$ sont affinement indépendants). Tout point $M \in \mathcal{E}$ s’écrit de manière unique comme barycentre
$$ M = \text{bar}\big\{(A_0,\lambda_0), (A_1,\lambda_1), \dots, (A_d,\lambda_d)\big\} $$avec la contrainte
$$ \sum_{i=0}^{d} \lambda_i = 1. $$Les scalaires $(\lambda_0, \lambda_1, \dots, \lambda_d)$ sont les coordonnées barycentriques de $M$.
Expression explicite dans un triangle
Soit un triangle $ABC$ et un point $M$ du plan. Les coordonnées barycentriques $(\lambda, \mu, \nu)$ de $M$ par rapport à $(A,B,C)$ vérifient
$$ \vec{OM} = \lambda \vec{OA} + \mu \vec{OB} + \nu \vec{OC}, \qquad \lambda + \mu + \nu = 1. $$On a explicitement
$$ \lambda = \frac{\text{Aire}(MBC)}{\text{Aire}(ABC)}, \quad \mu = \frac{\text{Aire}(AMC)}{\text{Aire}(ABC)}, \quad \nu = \frac{\text{Aire}(ABM)}{\text{Aire}(ABC)}. $$Résumé des formules essentielles
- Définition : $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, \vec{GA_i} = \vec{0}$.
- Réduction : $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \, \vec{MA_i} = \left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i\right) \vec{MG}$.
- Coordonnées : $\displaystyle G^{(k)} = \frac{\sum \alpha_i \, x_i^{(k)}}{\sum \alpha_i}$.
- Existence : si et seulement si $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \neq 0$.
- Associativité : les barycentres partiels se combinent en un barycentre global.