Base d’une Topologie Produit
Lorsqu’on dispose de deux espaces topologiques $(X, \mathcal{T}_X)$ et $(Y, \mathcal{T}_Y)$, il est naturel de vouloir munir leur produit cartésien $X \times Y$ d’une topologie « raisonnable ». La topologie produit est la manière la plus standard de le faire. Elle est définie à l’aide d’une base construite à partir des ouverts de $X$ et de $Y$.
Soient $(X, \mathcal{T}_X)$ et $(Y, \mathcal{T}_Y)$ deux espaces topologiques.
La collection $\mathcal{B}$ de parties de $X \times Y$ définie par : $$\mathcal{B} = \{ U \times V \mid U \in \mathcal{T}_X \text{ et } V \in \mathcal{T}_Y \}$$ est une base pour une topologie sur $X \times Y$. Les ensembles de la forme $U \times V$ sont parfois appelés les « rectangles ouverts » ou les « pavés ouverts ».
La topologie engendrée par cette base $\mathcal{B}$ est appelée la topologie produit sur $X \times Y$.
Pour que $\mathcal{B}$ soit une base de topologie, elle doit satisfaire deux conditions :
- Recouvrement : Tout point $(x, y) \in X \times Y$ doit appartenir à un élément de $\mathcal{B}$. C’est vrai, car $X \in \mathcal{T}_X$ et $Y \in \mathcal{T}_Y$, donc $X \times Y$ est un élément de $\mathcal{B}$ qui contient tous les points.
- Stabilité par intersection : L’intersection de deux éléments de $\mathcal{B}$ doit être une union d’éléments de $\mathcal{B}$. Soient $B_1 = U_1 \times V_1$ et $B_2 = U_2 \times V_2$ deux éléments de la base. Leur intersection est : $$B_1 \cap B_2 = (U_1 \times V_1) \cap (U_2 \times V_2) = (U_1 \cap U_2) \times (V_1 \cap V_2)$$ Comme $U_1 \cap U_2$ est un ouvert de $X$ et $V_1 \cap V_2$ est un ouvert de $Y$, leur produit $(U_1 \cap U_2) \times (V_1 \cap V_2)$ est bien un élément de la base $\mathcal{B}$. La condition est donc satisfaite.
Le plan euclidien $\mathbb{R}^2$ est le produit cartésien $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$. La topologie usuelle sur $\mathbb{R}$ a pour base la collection de tous les intervalles ouverts $]a, b[$.
En appliquant la définition de la base produit, une base pour la topologie produit sur $\mathbb{R}^2$ est donnée par la collection de tous les rectangles ouverts : $$\mathcal{B} = \{ ]a, b[ \times ]c, d[ \mid a, b, c, d \in \mathbb{R}, a < b, c < d \}$$ C'est précisément la base qui est utilisée pour définir la topologie usuelle sur le plan. Un ouvert de $\mathbb{R}^2$ est donc une union (quelconque) de rectangles ouverts.