Les Bases orthonormées constituent l’outil fondamental de la géométrie euclidienne, permettant de simplifier drastiquement les calculs de produits scalaires, de normes et de projections grâce à l’orthogonalité et à la normalisation de leurs vecteurs constituants. Elles transforment la structure abstraite d’un espace préhilbertien en un cadre isomorphe à l’espace vectoriel canonique $\mathbb{R}^n$.

Définition formelle et caractérisation

Soit $E$ un espace euclidien (ou plus généralement un espace préhilbertien réel) muni d’un produit scalaire noté $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Une famille de vecteurs $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ de $E$ est dite orthonormée si elle satisfait simultanément deux conditions :

1. Orthogonalité : Les vecteurs sont deux à deux orthogonaux. Pour tous $i \neq j$ :
$$ \langle e_i, e_j \rangle = 0 $$
2. Normalisation : Chaque vecteur est de norme unitaire. Pour tout $i$ :
$$ \|e_i\| = \sqrt{\langle e_i, e_i \rangle} = 1 $$

Ces deux propriétés peuvent être résumées compactement à l’aide du symbole de Kronecker $\delta_{ij}$, défini par $\delta_{ij} = 1$ si $i=j$ et $0$ sinon :

$$ \forall i, j \in \{1, \dots, n\}, \quad \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij} $$

Si cette famille orthonormée constitue également une base de l’espace $E$ (c’est-à-dire qu’elle est libre et génératrice), on parle alors de base orthonormée (BON). Dans un espace de dimension finie, toute famille orthonormée de cardinal égal à la dimension de l’espace est automatiquement une base.

Propriété de liberté linéaire

Toute famille orthonormée est nécessairement libre. Cette propriété garantit qu’une telle famille peut toujours être complétée pour former une base orthonormée de l’espace entier (dans le cas de dimension finie).

Preuve : Supposons $\sum_{i=1}^n \lambda_i e_i = 0$. En faisant le produit scalaire avec un vecteur $e_k$ de la famille :

$$ \left\langle \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i, e_k \right\rangle = \langle 0, e_k \rangle = 0 $$

Par linéarité et orthogonalité, seul le terme $i=k$ survit :

$$ \lambda_k \langle e_k, e_k \rangle = \lambda_k \cdot 1 = 0 \implies \lambda_k = 0 $$

Ceci étant vrai pour tout $k$, la famille est libre. $\blacksquare$

Calculs dans une base orthonormée

L’intérêt majeur des Bases orthonormées réside dans la simplification extrême des expressions analytiques des opérations vectoriales usuelles.

Expression du produit scalaire

Soit $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ une base orthonormée de $E$. Pour deux vecteurs $x$ et $y$ de coordonnées respectives $(x_1, \dots, x_n)$ et $(y_1, \dots, y_n)$ dans $\mathcal{B}$, le produit scalaire s’écrit comme la somme des produits des coordonnées homologues :

$$ \langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i $$

Démonstration : En développant par bilinéarité :

$$ \langle x, y \rangle = \left\langle \sum_{i=1}^n x_i e_i, \sum_{j=1}^n y_j e_j \right\rangle = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i y_j \langle e_i, e_j \rangle $$

Puisque $\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$, la double somme se réduit à une somme simple où $i=j$ :

$$ \sum_{i=1}^n x_i y_i \cdot 1 = \sum_{i=1}^n x_i y_i $$

Cette formule identique à celle de l’espace canonique $\mathbb{R}^n$ justifie l’usage systématique de ces bases pour les calculs numériques.

Formule de la norme et de la distance

Dans une Base orthonormée, la norme euclidienne d’un vecteur $x$ correspond à la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées (Théorème de Pythagore généralisé) :

$$ \|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} $$

De même, la distance entre deux points $A$ et $B$ de coordonnées $(a_i)$ et $(b_i)$ est donnée par :

$$ d(A, B) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (b_i – a_i)^2} $$

Ces formules ne sont valables que si la base utilisée est orthonormée. Dans une base quelconque, l’expression ferait intervenir la matrice de Gram (matrice des produits scalaires des vecteurs de base).

Matrices orthogonales et changement de base

Le passage d’une base orthonormée à une autre fait intervenir une classe spécifique de matrices : les matrices orthogonales.

Définition et propriété caractéristique

Soient $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}’$ deux bases orthonormées de $E$. La matrice de passage $P$ de $\mathcal{B}$ vers $\mathcal{B}’$ est une matrice orthogonale. Cela signifie que sa transposée est égale à son inverse :

$$ P^T P = P P^T = I_n $$

Géométriquement, les colonnes de $P$ sont les coordonnées des vecteurs de $\mathcal{B}’$ exprimés dans $\mathcal{B}$. Comme $\mathcal{B}’$ est orthonormée, ces colonnes forment elles-mêmes une famille orthonormée de $\mathbb{R}^n$.

Le déterminant d’une telle matrice vaut toujours $1$ ou $-1$. Si $\det(P) = 1$, le changement de base conserve l’orientation (rotation); si $\det(P) = -1$, il l’inverse (réflexion).

Conservation du produit scalaire

L’utilisation de matrices orthogonales assure que le produit scalaire est invariant par changement de base orthonormée. Si $X, Y$ sont les vecteurs colonnes des coordonnées dans $\mathcal{B}$ et $X’, Y’$ dans $\mathcal{B}’$, avec $X = P X’$ :

$$ X^T Y = (P X’)^T (P Y’) = X’^T P^T P Y’ = X’^T I_n Y’ = X’^T Y’ $$

Cette invariance confirme que la notion de produit scalaire est intrinsèque à l’espace et ne dépend pas du choix de la Base orthonormée.

Théorèmes fondamentaux et algorithmes

L’existence et la construction de Bases orthonormées sont garanties par des théorèmes puissants valables en dimension finie.

Théorème de Gram-Schmidt

Ce théorème assure que tout espace euclidien de dimension finie admet une base orthonormée. Plus précisément, à partir de n’importe quelle base $(u_1, \dots, u_n)$, on peut construire une base orthonormée $(e_1, \dots, e_n)$ telle que pour tout $k$, $\text{Vect}(e_1, \dots, e_k) = \text{Vect}(u_1, \dots, u_k)$.

L’algorithme de construction procède par récurrence :

1. On normalise le premier vecteur : $e_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|}$.
2. Pour $k > 1$, on soustrait à $u_k$ sa projection orthogonale sur le sous-espace déjà engendré, puis on normalise :
$$ v_k = u_k – \sum_{j=1}^{k-1} \langle u_k, e_j \rangle e_j $$ $$ e_k = \frac{v_k}{\|v_k\|} $$

Ce procédé démontre constructivement l’existence des bases orthonormées et est largement utilisé en analyse numérique.

Inégalité de Bessel et égalité de Parseval

Soit $(e_1, \dots, e_n)$ une famille orthonormée (pas nécessairement une base) et $x \in E$. L’inégalité de Bessel stipule :

$$ \sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle^2 \leq \|x\|^2 $$

Si la famille est une Base orthonormée, l’inégalité devient une égalité, connue sous le nom d’égalité de Parseval :

$$ \|x\|^2 = \sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle^2 $$

Cette égalité exprime que le carré de la norme du vecteur est égal à la somme des carrés de ses composantes (coefficients de Fourier généralisés) dans la base.

Exemples concrets et applications

Illustrons ces concepts par des exemples classiques dans divers espaces vectoriels.

Exemple 1 : La base canonique de $\mathbb{R}^3$

Dans l’espace usuel $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique, la base $\mathcal{B} = (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ avec :

$$ \vec{i} = (1,0,0), \quad \vec{j} = (0,1,0), \quad \vec{k} = (0,0,1) $$

est la Base orthonormée de référence. On vérifie aisément que $\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$ et $\|\vec{i}\| = 1$. Tout calcul de produit scalaire dans cette base revient à la somme des produits des coordonnées.

Exemple 2 : Base orthonormée de polynômes

Considérons l’espace $E = \mathbb{R}_1[X]$ des polynômes de degré au plus 1, muni du produit scalaire $\langle P, Q \rangle = \int_{-1}^{1} P(t)Q(t) dt$.

La base naturelle $(1, X)$ n’est pas orthonormée car $\langle 1, X \rangle = \int_{-1}^1 t dt = 0$ (orthogonale) mais $\|1\|^2 = \int_{-1}^1 1 dt = 2 \neq 1$.

Appliquons Gram-Schmidt pour obtenir une BON :

• $e_1 = \frac{1}{\|1\|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
• Le second vecteur $X$ est déjà orthogonal à $e_1$. Calculons sa norme : $\|X\|^2 = \int_{-1}^1 t^2 dt = [\frac{t^3}{3}]_{-1}^1 = \frac{2}{3}$.
• Donc $e_2 = \frac{X}{\sqrt{2/3}} = \sqrt{\frac{3}{2}} X$.

La famille $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{\frac{3}{2}}X)$ forme une Base orthonormée de cet espace pour ce produit scalaire spécifique.

Contre-exemple : Base non orthonormée

Considérons dans $\mathbb{R}^2$ la base $\mathcal{B}’ = (u, v)$ avec $u=(1,0)$ et $v=(1,1)$. Bien que libre, elle n’est pas orthonormée :

• Elle n’est pas orthogonale : $\langle u, v \rangle = 1 \times 1 + 0 \times 1 = 1 \neq 0$.
• Le vecteur $v$ n’est pas normalisé : $\|v\| = \sqrt{2} \neq 1$.

Dans cette base, la formule $\sum x_i y_i$ ne donne pas le produit scalaire canonique. Il faudrait utiliser la matrice de Gram $G = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ pour corriger le calcul.

Applications en physique et traitement du signal

Les Bases orthonormées sont omniprésentes dans les sciences appliquées, notamment pour la décomposition de signaux complexes.

Séries de Fourier

Dans l’espace des fonctions périodiques de carré intégrable, les familles de fonctions trigonométriques $(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\cos(nt)}{\sqrt{\pi}}, \frac{\sin(nt)}{\sqrt{\pi}})$ forment une base hilbertienne orthonormée.

Cela permet de décomposer n’importe quel signal périodique en une somme infinie de sinusoïdes pures. Les coefficients de Fourier correspondent aux projections orthogonales du signal sur ces vecteurs de base, minimisant l’erreur quadratique moyenne.

Mécanique quantique

En mécanique quantique, les états possibles d’un système sont décrits par des vecteurs dans un espace de Hilbert. Les observables physiques sont associées à des opérateurs dont les vecteurs propres forment souvent une Base orthonormée.

La probabilité de mesurer une valeur propre donnée est le carré du module du coefficient de projection de l’état du système sur le vecteur propre correspondant (règle de Born), directement liée à l’égalité de Parseval.

Conclusion synthétique

Les Bases orthonormées représentent le cadre optimal pour l’étude des espaces euclidiens, transformant des problèmes géométriques complexes en simples calculs algébriques sur les coordonnées. Leur existence garantie par le procédé de Gram-Schmidt et leurs propriétés de conservation métrique en font un outil indispensable.

De la résolution de systèmes linéaires à l’analyse spectrale des signaux, en passant par la mécanique rationnelle, la maîtrise de ces bases et des matrices orthogonales associées constitue un prérequis fondamental pour toute avancée en mathématiques appliquées et en physique théorique.