Boules et sphères : Définitions et propriétés fondamentales
Les boules et sphères sont des concepts centraux en géométrie et en analyse. Leur étude rigoureuse permet de comprendre la structure des espaces métriques et vectoriels normés.
Définitions formelles
Soit \((E, d)\) un espace métrique. Pour un point \(x \in E\) et un rayon \(r > 0\), on définit :
- La boule ouverte : \(B(x, r) = \{ y \in E \mid d(x, y) < r \}\).
- La boule fermée : \(\overline{B}(x, r) = \{ y \in E \mid d(x, y) \leq r \}\).
- La sphère : \(S(x, r) = \{ y \in E \mid d(x, y) = r \}\).
Dans un espace vectoriel normé \((E, \|\cdot\|)\), la distance est induite : \(d(x, y) = \|x – y\|\).
Théorèmes et propriétés essentielles
Propriétés de la boule
Les boules vérifient des inclusions fondamentales. Pour \(0 < r_1 < r_2\), on a :
$$
B(x, r_1) \subset \overline{B}(x, r_1) \subset B(x, r_2) \subset \overline{B}(x, r_2).
$$
La boule ouverte est un ensemble ouvert. La boule fermée est un ensemble fermé.
Relation entre boule et sphère
La sphère est la frontière topologique de la boule fermée. Formellement :
$$
\partial \overline{B}(x, r) = S(x, r).
$$
De plus, \(S(x, r) = \overline{B}(x, r) \setminus B(x, r)\).
Preuves rigoureuses
Preuve : La boule ouverte est un ensemble ouvert
Soit \(x_0 \in B(x, r)\). Alors \(d(x, x_0) < r\). Posons \(\epsilon = r - d(x, x_0) > 0\). Pour tout \(y \in B(x_0, \epsilon)\), par inégalité triangulaire :
$$
d(x, y) \leq d(x, x_0) + d(x_0, y) < d(x, x_0) + \epsilon = r.
$$
Ainsi \(y \in B(x, r)\). Donc \(B(x_0, \epsilon) \subset B(x, r)\). La boule est ouverte.
\( \blacksquare \)
Preuve : La sphère est la frontière de la boule fermée
Montrons que \(\partial \overline{B}(x, r) = S(x, r)\).
Inclusion \(\subset\) : Soit \(y \in \partial \overline{B}(x, r)\). Alors tout voisinage de \(y\) rencontre \(\overline{B}(x, r)\) et son complémentaire. Si \(d(x, y) < r\), alors \(y \in B(x, r) \subset \overline{B}(x, r)^\circ\), donc \(y\) n'est pas frontière. Si \(d(x, y) > r\), alors \(y\) est extérieur, et un petit voisinage reste extérieur, contradiction. Ainsi \(d(x, y) = r\), donc \(y \in S(x, r)\).
Inclusion \(\supset\) : Soit \(y \in S(x, r)\). Alors \(d(x, y) = r\). Pour tout \(\epsilon > 0\), considérons \(z\) sur le segment \([x, y]\) tel que \(d(x, z) = r – \epsilon/2\) (possible si \(\epsilon\) assez petit). Alors \(z \in \overline{B}(x, r)\) car \(d(x, z) < r\). De plus, \(d(y, z) = \epsilon/2 < \epsilon\), donc \(z \in B(y, \epsilon)\). D'autre part, prenons \(w\) tel que \(d(x, w) = r + \epsilon/2\) et \(d(y, w) < \epsilon\) (par construction). Alors \(w \notin \overline{B}(x, r)\) mais \(w \in B(y, \epsilon)\). Ainsi tout voisinage de \(y\) rencontre \(\overline{B}(x, r)\) et son complémentaire. Donc \(y \in \partial \overline{B}(x, r)\).
\( \blacksquare \)
Exemples et contre-exemples
Exemples dans \(\mathbb{R}^n\)
Dans \(\mathbb{R}^n\) muni de la norme euclidienne, la boule ouverte de centre \(0\) et rayon \(r\) est :
$$
B(0, r) = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid x_1^2 + \cdots + x_n^2 < r^2 \}.
$$
La sphère est :
$$
S(0, r) = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid x_1^2 + \cdots + x_n^2 = r^2 \}.
$$
Pour \(n = 2\), on reconnaît le disque ouvert et le cercle. Pour \(n = 3\), la boule est un volume et la sphère une surface.
Contre-exemple : Boules en norme \(\ell^1\)
Dans \(\mathbb{R}^2\) avec la norme \(\|(x, y)\|_1 = |x| + |y|\), la boule unité ouverte \(B(0, 1)\) est un losange (un carré tourné de 45°). Sa frontière (la sphère) est un losange également, mais les points de la sphère ne satisfont pas \(x^2 + y^2 = 1\). Cela illustre que la forme des boules dépend de la norme.
Exemple en dimension infinie
Dans un espace de Banach comme \(\ell^2\), la boule fermée est un ensemble fermé borné. Elle n’est pas compacte (car l’espace n’est pas de dimension finie). Cependant, la sphère reste toujours la frontière de la boule fermée, même en dimension infinie.
Applications et liens utiles
La théorie des boules et sphères est fondamentale pour l’analyse fonctionnelle, la topologie et la géométrie différentielle. Pour approfondir, consultez les ressources de Keepmath ou les articles spécialisés sur Culture Math.