Calcul d’Aires par Intégrale Double

L’intégrale double de $f(x,y)$ sur un domaine $D$ représente le volume sous la surface $z=f(x,y)$. Une application directe et puissante de ce concept est le calcul de l’aire du domaine $D$ lui-même.

1. Le Principe Fondamental

Pour calculer l’aire de $D$, il suffit de calculer le volume sous une surface de hauteur constante égale à 1. Le volume d’un cylindre de base $D$ et de hauteur 1 est numériquement égal à l’aire de sa base.

[Image d’un cylindre de hauteur 1 au-dessus d’un domaine D]

Le calcul se fait ensuite en utilisant le théorème de Fubini, en décrivant le domaine $D$ comme étant de type 1 ou de type 2.

2. Exemples de Calcul

Exemple 1 : Aire délimitée par une parabole et une droite

Calculer l’aire du domaine $D$ borné par la parabole $y=x^2$ et la droite $y=x+2$.

1. Trouver les points d’intersection : On résout $x^2 = x+2 \implies x^2-x-2=0 \implies (x-2)(x+1)=0$. Les points d’intersection sont $x=-1$ et $x=2$.
2. Décrire le domaine : Sur l’intervalle $[-1, 2]$, la droite $y=x+2$ est au-dessus de la parabole $y=x^2$. Le domaine est donc de type 1 : $$ D = \{ (x,y) \mid -1 \le x \le 2, \quad x^2 \le y \le x+2 \} $$
3. Calculer l’intégrale : $$ \text{Aire}(D) = \iint_D 1 \,dA = \int_{-1}^2 \left( \int_{x^2}^{x+2} 1 \,dy \right) \,dx $$ $$ = \int_{-1}^2 [y]_{x^2}^{x+2} \,dx = \int_{-1}^2 (x+2 – x^2) \,dx $$ $$ = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x – \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^2 = \left( \frac{4}{2} + 4 – \frac{8}{3} \right) – \left( \frac{1}{2} – 2 + \frac{1}{3} \right) $$ $$ = \left( 6 – \frac{8}{3} \right) – \left( \frac{5}{6} – 2 \right) = \frac{10}{3} – (-\frac{7}{6}) = \frac{20+7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} $$

Exemple 2 : Aire d’un quart de disque

Calculer l’aire du quart de disque $D$ défini par $x^2+y^2 \le R^2$ avec $x \ge 0$ et $y \ge 0$.

Le domaine peut être décrit comme un domaine de type 1 : $0 \le x \le R$ et $0 \le y \le \sqrt{R^2-x^2}$.

$$ \text{Aire}(D) = \int_0^R \int_0^{\sqrt{R^2-x^2}} 1 \,dy \,dx = \int_0^R \sqrt{R^2-x^2} \,dx $$

Cette intégrale se calcule avec un changement de variable trigonométrique ($x=R\sin\theta$), mais elle est compliquée. C’est un cas typique où un changement en coordonnées polaires est beaucoup plus efficace.

En coordonnées polaires, le domaine est un simple rectangle : $0 \le r \le R$ et $0 \le \theta \le \pi/2$. Et l’élément d’aire $dA$ devient $r \,dr \,d\theta$. $$ \text{Aire}(D) = \int_0^{\pi/2} \int_0^R 1 \cdot (r \,dr \,d\theta) $$ Comme la fonction et les bornes sont séparables : $$ \text{Aire}(D) = \left( \int_0^R r \,dr \right) \cdot \left( \int_0^{\pi/2} 1 \,d\theta \right) = \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^R \cdot [\theta]_0^{\pi/2} = \frac{R^2}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi R^2}{4} $$ On retrouve bien le quart de l’aire du disque.