Calcul de Volumes par Intégrale Double
L’interprétation la plus fondamentale de l’intégrale double est géométrique : elle représente le volume d’un solide. Plus précisément, l’intégrale de $f(x,y)$ sur un domaine $D$ est le volume du « cylindre » de base $D$ dont le « toit » est la surface d’équation $z=f(x,y)$.
1. Volume sous une Surface
Soit $f(x,y)$ une fonction positive et continue sur un domaine $D$ du plan $(x,y)$. Le volume $V$ du solide $S$ délimité par le bas par le domaine $D$, par le haut par la surface d’équation $z=f(x,y)$, et sur les côtés par les parois verticales au-dessus de la frontière de $D$, est donné par : $$ V = \iint_D f(x,y) \,dA $$
2. Volume entre Deux Surfaces
On peut généraliser cette idée pour calculer le volume d’un solide compris entre deux surfaces.
Soit un solide $S$ borné par le haut par la surface $z=f_{sup}(x,y)$ et par le bas par la surface $z=f_{inf}(x,y)$, au-dessus d’un domaine $D$. Le volume de $S$ est l’intégrale de la différence des hauteurs sur le domaine $D$ : $$ V = \iint_D (f_{sup}(x,y) – f_{inf}(x,y)) \,dA $$
3. Méthodologie et Exemples
Exemple 1 : Volume d’un Prisme
Calculer le volume du solide situé dans le premier octant ($x,y,z \ge 0$) et sous le plan d’équation $2x+y+z=4$.
- Identifier les surfaces et le domaine :
- Le solide est borné en bas par le plan $z=0$ ($f_{inf}=0$) et en haut par le plan $z=4-2x-y$ ($f_{sup}=4-2x-y$).
- Le domaine d’intégration $D$ est la projection du solide sur le plan $z=0$. C’est le triangle délimité par $x=0$, $y=0$ et la droite d’intersection de $2x+y+z=4$ avec $z=0$, soit la droite $2x+y=4$.
- On décrit ce triangle comme un domaine de type 1 : $0 \le x \le 2$ et $0 \le y \le 4-2x$.
- Calculer l’intégrale : $$ V = \iint_D (4-2x-y) \,dA = \int_0^2 \left( \int_0^{4-2x} (4-2x-y) \,dy \right) \,dx $$ $$ = \int_0^2 \left[ (4-2x)y – \frac{y^2}{2} \right]_0^{4-2x} \,dx = \int_0^2 \left( (4-2x)^2 – \frac{(4-2x)^2}{2} \right) \,dx $$ $$ = \int_0^2 \frac{1}{2}(4-2x)^2 \,dx = \frac{1}{2} \int_0^2 (16-16x+4x^2) \,dx $$ $$ = \frac{1}{2} \left[ 16x – 8x^2 + \frac{4x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{1}{2} \left( 32 – 32 + \frac{32}{3} \right) = \frac{16}{3} $$
Exemple 2 : Volume d’un Paraboloïde
Calculer le volume du solide borné par le paraboloïde $z=x^2+y^2$ et le plan $z=4$.
- Identifier les surfaces et le domaine :
- Le solide est borné en bas par le paraboloïde $z=x^2+y^2$ et en haut par le plan $z=4$.
- Le domaine d’intégration $D$ est la projection de l’intersection des deux surfaces sur le plan $(x,y)$. L’intersection se produit lorsque $x^2+y^2=4$. $D$ est donc le disque de rayon 2 centré à l’origine.
- Calculer l’intégrale :
$$ V = \iint_D (4 – (x^2+y^2)) \,dA $$
Le domaine et la fonction sont à symétrie circulaire, un passage en coordonnées polaires est donc très avantageux.
- Domaine $D$ en polaires : $0 \le r \le 2$ et $0 \le \theta \le 2\pi$.
- Fonction : $4 – (x^2+y^2) = 4-r^2$.
- Élément d’aire : $dA = r \,dr \,d\theta$.