Calcul de Volumes par Intégrale Triple : Méthode et Exemples

Calcul de Volumes par Intégrale Triple : Méthode et Exemples

Calcul de Volumes par Intégrale Triple

Alors que l’intégrale double calcule le volume sous une surface, l’intégrale triple est l’outil le plus direct et le plus général pour calculer le volume d’un solide quelconque dans l’espace $\mathbb{R}^3$. Le principe est analogue au calcul d’aire par intégrale double : on intègre la fonction constante 1, mais cette fois sur un domaine en trois dimensions.

1. La Formule Fondamentale

L’intégrale triple est une « somme » sur un volume. En sommant des éléments de volume infinitésimaux $dV$ sur toute la région $E$, on obtient le volume total de $E$.

Formule du Volume par Intégrale Triple

Le volume d’un solide (une région fermée et bornée) $E \subset \mathbb{R}^3$ est donné par l’intégrale triple de la fonction $f(x,y,z)=1$ sur ce domaine : $$ \text{Volume}(E) = \iiint_E 1 \,dV $$

2. Méthodologie de Calcul

Pour calculer ce volume, la procédure est une extension de celle des intégrales doubles :

  1. Décrire le domaine 3D : On exprime la région $E$ par des inégalités. La méthode la plus courante est de projeter le solide sur un plan (par exemple le plan $(x,y)$) et de décrire $z$ comme étant compris entre deux surfaces.
  2. Mettre en place l’intégrale itérée : On utilise le théorème de Fubini pour écrire l’intégrale triple comme une succession de trois intégrales simples. L’ordre est crucial et doit correspondre à la description du domaine.
  3. Calculer les intégrales successives : On évalue les intégrales de l’intérieur vers l’extérieur.

Exemple Détaillé : Volume d’un « Bouchon » Cylindrique

Calculer le volume du solide $E$ borné par le cylindre $x^2+y^2=4$, le plan $z=0$ (en bas) et le plan $y+z=3$ (en haut).

[Image d’un cylindre coupé en biais par un plan]
  1. Description du domaine $E$ :
    • La coordonnée $z$ est comprise entre le plancher $z=0$ et le toit $z=3-y$. On a donc $0 \le z \le 3-y$.
    • La projection du solide sur le plan $(x,y)$ est l’ombre du cylindre, c’est-à-dire le disque $D$ d’équation $x^2+y^2 \le 4$.
  2. Mise en place de l’intégrale : $$ V = \iiint_E 1 \,dV = \iint_D \left( \int_0^{3-y} 1 \,dz \right) \,dA $$
  3. Calcul de l’intégrale intérieure (par rapport à $z$) : $$ \int_0^{3-y} 1 \,dz = [z]_0^{3-y} = 3-y $$
  4. Calcul de l’intégrale double restante : Il nous reste à calculer $V = \iint_D (3-y) \,dA$ sur le disque $x^2+y^2 \le 4$. Ce domaine circulaire incite à utiliser les coordonnées polaires.
    • Domaine $D$ en polaires : $0 \le r \le 2$ et $0 \le \theta \le 2\pi$.
    • Fonction : $3-y = 3-r\sin\theta$.
    • Élément d’aire : $dA = r \,dr \,d\theta$.
    L’intégrale devient : $$ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (3-r\sin\theta) r \,dr \,d\theta = \int_0^{2\pi} \left( \int_0^2 (3r-r^2\sin\theta) \,dr \right) \,d\theta $$
  5. Calcul des intégrales itérées :
    • Intégrale par rapport à $r$ : $\int_0^2 (3r-r^2\sin\theta) \,dr = \left[ \frac{3r^2}{2} – \frac{r^3}{3}\sin\theta \right]_0^2 = \left( \frac{3(4)}{2} – \frac{8}{3}\sin\theta \right) = 6 – \frac{8}{3}\sin\theta$.
    • Intégrale par rapport à $\theta$ : $\int_0^{2\pi} (6 – \frac{8}{3}\sin\theta) \,d\theta = \left[ 6\theta + \frac{8}{3}\cos\theta \right]_0^{2\pi} = (12\pi + \frac{8}{3}) – (0 + \frac{8}{3}) = 12\pi$.

Le volume du solide est $12\pi$.