Lors de la décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle, le calcul des coefficients peut parfois être laborieux. Les développements limités offrent une méthode efficace pour déterminer la partie polaire associée à un pôle, en particulier le pôle 0.
Exemple 1
Décomposons la fraction rationnelle $F(X) = \frac{-5X^3 + 2X^2 – 8}{X^3(X – 1)}$ sur $\mathbb{R}$.
La forme théorique de la décomposition est : $$ F(X) = \frac{A_1}{X^3} + \frac{A_2}{X^2} + \frac{A_3}{X} + \frac{A_4}{X-1} $$ Pour trouver les coefficients $A_1, A_2, A_3$ de la partie polaire en 0, on multiplie $F(X)$ par $X^3$ : $$ X^3 F(X) = \frac{-5X^3 + 2X^2 – 8}{X – 1} = A_1 + A_2 X + A_3 X^2 + \frac{A_4 X^3}{X-1} $$ Cette égalité montre que $A_1 + A_2 X + A_3 X^2$ est la partie principale du développement limité à l’ordre 2 au voisinage de 0 de la fonction $g(X) = X^3 F(X)$.
Calculons ce D.L. : $$ g(X) = \frac{8 – 2X^2 + 5X^3}{1 – X} = (8 – 2X^2 + 5X^3)(1 + X + X^2 + X^2\epsilon(X)) $$ En ne gardant que les termes de degré inférieur ou égal à 2, on obtient : $$ g(X) = 8(1+X+X^2) – 2X^2(1) + \dots = 8 + 8X + 6X^2 + X^2\epsilon(X) $$ Par unicité du développement limité, on identifie les coefficients : $A_1=8$, $A_2=8$ et $A_3=6$. Le dernier coefficient $A_4$ peut être trouvé par une autre méthode (par exemple, en multipliant par $(X-1)$ et en évaluant en 1), on trouve $A_4=-11$.
Exemple 2
Soit la fraction $F(X) = \frac{(X^2 – X + 1)^2}{X^3(X – 1)^3}$.
1. Symétrie : On remarque que $F(1-X) = \frac{((1-X)^2 – (1-X) + 1)^2}{(1-X)^3(-X)^3} = \frac{(X^2 – X + 1)^2}{X^3(X-1)^3} = F(X)$. La décomposition est de la forme : $$ F(X) = \frac{a_3}{X^3} + \frac{a_2}{X^2} + \frac{a_1}{X} + \frac{b_3}{(X-1)^3} + \frac{b_2}{(X-1)^2} + \frac{b_1}{X-1} $$ La symétrie et l’unicité de la décomposition impliquent les relations : $b_3 = -a_3$, $b_2 = a_2$, $b_1 = -a_1$.
2. D.L. en 0 : On cherche le D.L. à l’ordre 2 de $g(X) = X^3 F(X) = \frac{(X^2 – X + 1)^2}{(X-1)^3}$. $$ g(X) = -(1-X+X^2)^2 (1-X)^{-3} $$ $$ = -(1 – 2X + 3X^2 + \dots)(1 + 3X + 6X^2 + \dots) $$ En ne gardant que les termes de degré $\le 2$, on trouve $g(X) = -1 – X – 3X^2 + X^2\epsilon(X)$.
3. Identification : En multipliant la forme de la décomposition par $X^3$, on a : $$ g(X) = a_3 + a_2 X + a_1 X^2 + X^3(\dots) $$ Par unicité, on identifie : $a_3=-1$, $a_2=-1$, $a_1=-3$. Grâce à la symétrie, on en déduit : $b_3=1$, $b_2=-1$, $b_1=3$.