Calcul des Dérivées Partielles
Le calcul des dérivées partielles repose sur un principe simple : on applique les règles de dérivation des fonctions d’une seule variable que l’on connaît déjà, en traitant toutes les autres variables comme des constantes. Cette page détaille les règles opératoires et présente plusieurs exemples concrets.
1. Règles de Dérivation Partielle
Soient $f$ et $g$ des fonctions de $U \subset \mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}$ admettant des dérivées partielles, et $\lambda \in \mathbb{R}$ une constante. Les règles suivantes s’appliquent pour chaque variable $x_i$ :
- Linéarité : $$ \frac{\partial}{\partial x_i} (f+g) = \frac{\partial f}{\partial x_i} + \frac{\partial g}{\partial x_i} $$ $$ \frac{\partial}{\partial x_i} (\lambda f) = \lambda \frac{\partial f}{\partial x_i} $$
- Règle du produit : $$ \frac{\partial}{\partial x_i} (f \cdot g) = \frac{\partial f}{\partial x_i} \cdot g + f \cdot \frac{\partial g}{\partial x_i} $$
- Règle du quotient : (si $g \neq 0$) $$ \frac{\partial}{\partial x_i} \left(\frac{f}{g}\right) = \frac{\frac{\partial f}{\partial x_i} \cdot g – f \cdot \frac{\partial g}{\partial x_i}}{g^2} $$
- Règle de la chaîne (composition) : Si $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est une fonction d’une variable dérivable, alors : $$ \frac{\partial}{\partial x_i} h(f(x_1, \dots, x_p)) = h'(f(x_1, \dots, x_p)) \cdot \frac{\partial f}{\partial x_i} $$
2. Exemples de Calcul
Exemple 1 : Fonction polynomiale
Soit $f(x,y) = 2x^4y^3 – 5xy^2 + x^3 – 7y + 1$.
- Par rapport à $x$ ($y$ est une constante) : $$ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = (2 \cdot 4x^3)y^3 – (5 \cdot 1)y^2 + 3x^2 – 0 + 0 = 8x^3y^3 – 5y^2 + 3x^2 $$
- Par rapport à $y$ ($x$ est une constante) : $$ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 2x^4(3y^2) – 5x(2y) + 0 – 7 + 0 = 6x^4y^2 – 10xy – 7 $$
Exemple 2 : Fonction avec quotient
Soit $g(x,y) = \frac{x^2+y}{xy}$.
- Par rapport à $x$ : On applique la règle du quotient avec $u(x,y) = x^2+y$ et $v(x,y) = xy$. $$ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = y $$ $$ \frac{\partial g}{\partial x} = \frac{(2x)(xy) – (x^2+y)(y)}{(xy)^2} = \frac{2x^2y – x^2y – y^2}{x^2y^2} = \frac{x^2y – y^2}{x^2y^2} = \frac{x^2-y}{x^2y} $$
- Par rapport à $y$ : $$ \frac{\partial u}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = x $$ $$ \frac{\partial g}{\partial y} = \frac{(1)(xy) – (x^2+y)(x)}{(xy)^2} = \frac{xy – x^3 – xy}{x^2y^2} = \frac{-x^3}{x^2y^2} = -\frac{x}{y^2} $$
Exemple 3 : Fonction avec composition
Soit $h(x,y,z) = e^{x^2y} \sin(z^3)$.
- Par rapport à $x$ : On utilise la règle de la chaîne pour $e^{u}$ avec $u(x,y)=x^2y$. $$ \frac{\partial h}{\partial x} = \sin(z^3) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(e^{x^2y}) = \sin(z^3) \cdot e^{x^2y} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2y) = \sin(z^3) \cdot e^{x^2y} \cdot (2xy) = 2xy e^{x^2y} \sin(z^3) $$
- Par rapport à $y$ : $$ \frac{\partial h}{\partial y} = \sin(z^3) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(e^{x^2y}) = \sin(z^3) \cdot e^{x^2y} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^2y) = \sin(z^3) \cdot e^{x^2y} \cdot (x^2) = x^2 e^{x^2y} \sin(z^3) $$
- Par rapport à $z$ : $$ \frac{\partial h}{\partial z} = e^{x^2y} \cdot \frac{\partial}{\partial z}(\sin(z^3)) = e^{x^2y} \cdot \cos(z^3) \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^3) = e^{x^2y} \cos(z^3) (3z^2) = 3z^2 e^{x^2y} \cos(z^3) $$
3. La Matrice Jacobienne (pour les fonctions vectorielles)
Lorsque la fonction est à valeurs vectorielles ($f: \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n$), chaque dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ est un vecteur de $\mathbb{R}^n$. On organise toutes ces informations dans une matrice appelée la matrice jacobienne.
Soit $f = (f_1, \dots, f_n): U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n$ une fonction dont toutes les dérivées partielles de ses composantes existent en un point $a$. La matrice jacobienne de $f$ en $a$, notée $J_f(a)$, est la matrice de taille $n \times p$ où le coefficient à la ligne $j$ et la colonne $i$ est $\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(a)$. $$ J_f(a) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(a) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_p}(a) \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(a) & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_p}(a) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_n}{\partial x_2}(a) & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_p}(a) \end{pmatrix} $$ Les lignes de la matrice jacobienne sont les gradients des fonctions composantes.
Exemple
Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ définie par $f(x,y) = (x^2y, \quad x+y, \quad \cos(xy))$.
On a $f_1(x,y)=x^2y$, $f_2(x,y)=x+y$, $f_3(x,y)=\cos(xy)$.
Calculons toutes les dérivées partielles :
- $\frac{\partial f_1}{\partial x} = 2xy$ ; $\frac{\partial f_1}{\partial y} = x^2$
- $\frac{\partial f_2}{\partial x} = 1$ ; $\frac{\partial f_2}{\partial y} = 1$
- $\frac{\partial f_3}{\partial x} = -y\sin(xy)$ ; $\frac{\partial f_3}{\partial y} = -x\sin(xy)$
La matrice jacobienne de $f$ est donc une matrice $3 \times 2$ : $$ J_f(x,y) = \begin{pmatrix} 2xy & x^2 \\ 1 & 1 \\ -y\sin(xy) & -x\sin(xy) \end{pmatrix} $$