Calcul d’Intégrales Triples Itérées
Le calcul d’une intégrale triple, grâce au théorème de Fubini, se ramène à une succession de trois intégrales simples. La méthode consiste à évaluer ces intégrales « de l’intérieur vers l’extérieur », en traitant les variables des intégrales extérieures comme des constantes à chaque étape. La principale difficulté réside souvent dans la bonne définition des bornes d’intégration pour décrire le domaine.
1. La Méthode de Calcul
Procédure de Calcul
- Identifier les bornes : Décrire le domaine d’intégration $E$ par des inégalités. Par exemple, sous la forme : $$ a \le x \le b, \quad \phi_1(x) \le y \le \phi_2(x), \quad u_1(x,y) \le z \le u_2(x,y) $$
- Mettre en place l’intégrale itérée : Écrire l’intégrale triple en respectant l’ordre des bornes, de l’intérieur vers l’extérieur : $$ \int_a^b \left( \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} \left( \int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x,y,z) \,dz \right) \,dy \right) \,dx $$
- Calculer l’intégrale intérieure : On calcule $\int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x,y,z) \,dz$ en traitant $x$ et $y$ comme des constantes. Le résultat sera une fonction de $x$ et $y$.
- Calculer l’intégrale du milieu : On intègre le résultat de l’étape précédente par rapport à $y$, entre les bornes $\phi_1(x)$ et $\phi_2(x)$, en traitant $x$ comme une constante. Le résultat sera une fonction de $x$.
- Calculer l’intégrale extérieure : On intègre le résultat de l’étape 4 par rapport à $x$, entre les bornes constantes $a$ et $b$. Le résultat final est un nombre.
Exemple Détaillé
Calculer $\iiint_E x \,dV$ où $E$ est le domaine du premier octant ($x,y,z \ge 0$) situé sous le paraboloïde $z = 4 – x^2 – y^2$.
- Description du domaine :
- Les bornes pour $z$ sont données par le bas ($z=0$) et par le haut (le paraboloïde). Donc $0 \le z \le 4 – x^2 – y^2$.
- La projection $D$ du domaine sur le plan $(x,y)$ est la région où $z \ge 0$, soit $4 – x^2 – y^2 \ge 0 \implies x^2+y^2 \le 4$. Comme on est dans le premier octant, $D$ est le quart de disque de rayon 2 dans le premier quadrant.
- On peut décrire ce quart de disque $D$ par $0 \le x \le 2$ et $0 \le y \le \sqrt{4-x^2}$.
- Mise en place de l’intégrale : $$ \int_0^2 \left( \int_0^{\sqrt{4-x^2}} \left( \int_0^{4-x^2-y^2} x \,dz \right) \,dy \right) \,dx $$
- Calcul de l’intégrale intérieure (par rapport à $z$) : $$ \int_0^{4-x^2-y^2} x \,dz = x \int_0^{4-x^2-y^2} 1 \,dz = x [z]_0^{4-x^2-y^2} = x(4-x^2-y^2) $$
- Calcul de l’intégrale du milieu (par rapport à $y$) : $$ \int_0^{\sqrt{4-x^2}} x(4-x^2-y^2) \,dy = x \int_0^{\sqrt{4-x^2}} ((4-x^2)-y^2) \,dy $$ $$ = x \left[ (4-x^2)y – \frac{y^3}{3} \right]_0^{\sqrt{4-x^2}} = x \left( (4-x^2)\sqrt{4-x^2} – \frac{(\sqrt{4-x^2})^3}{3} \right) $$ $$ = x \left( (4-x^2)^{3/2} – \frac{(4-x^2)^{3/2}}{3} \right) = \frac{2}{3}x(4-x^2)^{3/2} $$
- Calcul de l’intégrale extérieure (par rapport à $x$) :
$$ \int_0^2 \frac{2}{3}x(4-x^2)^{3/2} \,dx $$
On utilise un changement de variable : $u=4-x^2$, donc $du = -2x \,dx$.
Si $x=0, u=4$. Si $x=2, u=0$. $$ = \frac{2}{3} \int_4^0 u^{3/2} \left(-\frac{1}{2} du\right) = -\frac{1}{3} \int_4^0 u^{3/2} \,du = \frac{1}{3} \int_0^4 u^{3/2} \,du $$ $$ = \frac{1}{3} \left[ \frac{u^{5/2}}{5/2} \right]_0^4 = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} [u^{5/2}]_0^4 = \frac{2}{15} (4^{5/2} – 0) = \frac{2}{15} (2^5) = \frac{64}{15} $$
L’intégrale vaut 64/15.