Volume d’un Solide de l’Espace
L’intégrale triple est l’outil le plus direct et le plus général pour calculer le volume d’une région $E$ de l’espace $\mathbb{R}^3$. L’idée est de « sommer » les volumes infinitésimaux $dV = dx\,dy\,dz$ sur l’ensemble du solide. Pour ce faire, on intègre la fonction constante égale à 1 sur le domaine occupé par le solide.
1. La Formule Fondamentale
Le volume d’un solide (une région fermée et bornée) $E \subset \mathbb{R}^3$ est donné par l’intégrale triple de la fonction $f(x,y,z)=1$ sur ce domaine : $$ \text{Volume}(E) = \iiint_E 1 \,dV $$
Le défi pratique consiste à traduire cette intégrale symbolique en une série de trois intégrales simples (une intégrale itérée) en décrivant correctement les bornes du domaine $E$.
2. Méthodologie de Calcul
- Visualiser et borner le solide : Dessiner le solide $E$ et le décrire à l’aide d’inégalités. Une approche courante est « par piles » ou « par tranches ». Par exemple, on peut fixer $(x,y)$ et décrire les bornes de $z$ en fonction de $x$ et $y$.
- Déterminer le domaine de projection : Identifier la projection $D$ du solide sur l’un des plans de coordonnées (par exemple, le plan $xy$). Cette projection servira de domaine pour l’intégrale double restante.
- Mettre en place l’intégrale itérée : Écrire l’intégrale triple en respectant l’ordre des bornes. Par exemple, si on projette sur le plan $xy$ : $$ V = \iint_D \left( \int_{z_{min}(x,y)}^{z_{max}(x,y)} 1 \,dz \right) \,dA $$
- Calculer les intégrales : Évaluer les trois intégrales simples successivement, de l’intérieur vers l’extérieur.
Exemple Détaillé : Volume d’un Tétraèdre
Calculer le volume du tétraèdre $E$ délimité par les plans $x=0$, $y=0$, $z=0$ et le plan $x+y+z=1$.
- Description du domaine $E$ :
- Le solide est dans le premier octant. Les variables $x,y,z$ sont positives.
- Le plancher est $z=0$. Le toit est le plan incliné $z=1-x-y$. Donc, pour un $(x,y)$ donné, $z$ varie de $0$ à $1-x-y$.
- La projection $D$ du solide sur le plan $(x,y)$ est la base du tétraèdre. Elle est délimitée par $x=0$, $y=0$ et la trace du plan $z=1-x-y$ dans le plan $z=0$, qui est la droite $x+y=1$.
- Ce domaine de projection $D$ est un triangle qui peut être décrit par $0 \le x \le 1$ et $0 \le y \le 1-x$.
- Mise en place de l’intégrale : $$ V = \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} 1 \,dz \,dy \,dx $$
- Calcul des intégrales successives :
- Intégrale par rapport à z : $$ \int_0^{1-x-y} 1 \,dz = [z]_0^{1-x-y} = 1-x-y $$
- Intégrale par rapport à y : $$ \int_0^{1-x} (1-x-y) \,dy = \left[ (1-x)y – \frac{y^2}{2} \right]_0^{1-x} = (1-x)^2 – \frac{(1-x)^2}{2} = \frac{(1-x)^2}{2} $$
- Intégrale par rapport à x : $$ \int_0^1 \frac{(1-x)^2}{2} \,dx = \frac{1}{2} \left[ -\frac{(1-x)^3}{3} \right]_0^1 = -\frac{1}{6} [ (1-1)^3 – (1-0)^3 ] = -\frac{1}{6}(0-1) = \frac{1}{6} $$
Le volume du tétraèdre est de 1/6.