Calcul sur un Domaine Rectangulaire
Le cas le plus simple pour le calcul d’une intégrale double est celui où le domaine d’intégration est un rectangle. Dans cette situation, les bornes de chaque intégrale simple sont des constantes, ce qui simplifie grandement la procédure. C’est l’application la plus directe du théorème de Fubini.
1. Rappel du Théorème de Fubini sur un Rectangle
Pour une fonction continue $f(x,y)$ sur un rectangle $D = [a,b] \times [c,d]$, on a : $$ \iint_D f(x,y) \,dA = \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) \,dy \right) \,dx = \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y) \,dx \right) \,dy $$
La méthode consiste à « fixer » une variable, à intégrer par rapport à l’autre (comme on le ferait pour une fonction d’une seule variable), puis à intégrer le résultat par rapport à la première variable. L’ordre n’a pas d’importance, mais l’un des deux peut être plus simple à calculer.
2. Exemples de Calcul
Exemple 1 : Fonction polynomiale
Calculer le volume sous la surface $z = 4 – x^2 – y^2$ au-dessus du rectangle $D = [0,1] \times [0,1]$.
On doit calculer $V = \iint_D (4-x^2-y^2) \,dA$. Choisissons d’intégrer d’abord par rapport à $y$.
- Intégrale intérieure (par rapport à $y$, $x$ est une constante) : $$ \int_0^1 (4-x^2-y^2) \,dy = \left[ 4y – x^2y – \frac{y^3}{3} \right]_0^1 = (4-x^2-\frac{1}{3}) – 0 = \frac{11}{3} – x^2 $$
- Intégrale extérieure (par rapport à $x$) : $$ V = \int_0^1 \left(\frac{11}{3} – x^2\right) \,dx = \left[ \frac{11}{3}x – \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \left(\frac{11}{3} – \frac{1}{3}\right) – 0 = \frac{10}{3} $$
Le volume est de 10/3 unités cubiques.
Exemple 2 : Fonction à variables séparées
Une fonction est dite à variables séparées si elle peut s’écrire sous la forme $f(x,y) = g(x)h(y)$. Dans ce cas, le calcul se simplifie grandement.
Si $f(x,y) = g(x)h(y)$ sur un rectangle $D=[a,b]\times[c,d]$, alors l’intégrale double est le produit des intégrales simples : $$ \iint_D g(x)h(y) \,dA = \left(\int_a^b g(x) \,dx \right) \cdot \left(\int_c^d h(y) \,dy \right) $$
Calculer $\iint_D xe^{-y} \,dA$ sur le domaine $D = [0,2] \times [0,1]$.
La fonction $f(x,y) = x \cdot e^{-y}$ est à variables séparées avec $g(x)=x$ et $h(y)=e^{-y}$. $$ \iint_D xe^{-y} \,dA = \left(\int_0^2 x \,dx \right) \cdot \left(\int_0^1 e^{-y} \,dy \right) $$ Calculons chaque intégrale séparément : $$ \int_0^2 x \,dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = 2 $$ $$ \int_0^1 e^{-y} \,dy = \left[ -e^{-y} \right]_0^1 = (-e^{-1}) – (-e^0) = 1 – \frac{1}{e} $$ Le résultat est le produit des deux : $$ \iint_D xe^{-y} \,dA = 2 \left(1 – \frac{1}{e}\right) $$