Encyclopédie : Calcul Trigonométrique (1Bac)

ENCYCLOPÉDIE MATHÉMATIQUE – VERSION ACADÉMIQUE COMPLÈTE

Calcul Trigonométrique

Formules & Équations – Niveau 1ère Bac

Sommaire Détaillé

I. Cercle Trigonométrique et Abscisses Curvilignes
II. Lignes Trigonométriques (Rappels)
III. Formules de Transformation (Addition)
IV. Formules de Duplication et Linéarisation
V. Transformation de $a\cos x + b\sin x$
VI. Équations Trigonométriques
VII. Inéquations Trigonométriques
VIII. Synthèse et Erreurs Fréquentes

I. Cercle Trigonométrique et Abscisses Curvilignes

CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

Le cercle trigonométrique $(\mathcal{C})$ est le cercle de centre $O$ et de rayon 1, orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre).

1.1 Abscisses Curvilignes

Tout point $M$ du cercle est associé à une famille de réels $x$ tels que la longueur de l’arc $\overset{\frown}{IM} = x$ (en radians).

Si $x_0$ est une abscisse curviligne de $M$, toutes les autres sont de la forme $x_0 + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$.

ABSCISSE CURVILIGNE PRINCIPALE

C’est l’unique abscisse curviligne $\alpha$ qui appartient à l’intervalle $]-\pi ; \pi]$.

II. Lignes Trigonométriques (Rappels)

Pour tout réel $x$, si $M$ est le point associé à $x$ sur le cercle :

$\cos(x)$ est l’abscisse de $M$.
$\sin(x)$ est l’ordonnée de $M$.
$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ (si $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$).

RELATION FONDAMENTALE

$\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$

Et pour la tangente : $1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$.

III. Formules de Transformation (Addition)

Ces formules sont la base de tout le calcul trigonométrique.

FORMULES D’ADDITION

$\cos(a+b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b$
$\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$
$\sin(a-b) = \sin a \cos b – \cos a \sin b$

Application

Calculer $\cos(\frac{7\pi}{12})$ sachant que $\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$.

$\cos(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} – \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}$

$= \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} – \sqrt{6}}{4}$.

Transformation de Somme en Produit

$\cos p + \cos q = 2 \cos\left(\frac{p+q}{2}\right) \cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$

$\sin p + \sin q = 2 \sin\left(\frac{p+q}{2}\right) \cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$

IV. Formules de Duplication et Linéarisation

4.1 Duplication (Angle double)

$\cos(2x) = \cos^2 x – \sin^2 x = 2\cos^2 x – 1 = 1 – 2\sin^2 x$
$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$
$\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 – \tan^2 x}$

4.2 Linéarisation (Carré en angle double)

Ces formules permettent d’abaisser le degré (utile pour les intégrales plus tard).

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ et $\sin^2 x = \frac{1 – \cos(2x)}{2}$

V. Transformation de $a\cos x + b\sin x$

Cette technique est cruciale pour résoudre des équations du type $\sqrt{3}\cos x + \sin x = c$.

MÉTHODE DE L’AMPLITUDE

On factorise par $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.

$a\cos x + b\sin x = R \left( \frac{a}{R}\cos x + \frac{b}{R}\sin x \right)$

Il existe un angle $\alpha$ tel que $\cos \alpha = \frac{a}{R}$ et $\sin \alpha = \frac{b}{R}$.

L’expression devient : $R \cos(x – \alpha)$.

Exemple

Transformer $\cos x + \sin x$.

$a=1, b=1 \Rightarrow R = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

$\cos x + \sin x = \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x)$

$= \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x) = \sqrt{2} \cos(x – \frac{\pi}{4})$.

VI. Équations Trigonométriques

6.1 Équations Fondamentales

$\cos x = \cos \alpha \iff x \equiv \alpha [2\pi] \text{ ou } x \equiv -\alpha [2\pi]$
$\sin x = \sin \alpha \iff x \equiv \alpha [2\pi] \text{ ou } x \equiv \pi – \alpha [2\pi]$
$\tan x = \tan \alpha \iff x \equiv \alpha [\pi]$

ATTENTION

Ne pas oublier le modulo $[2\pi]$ (ou $2k\pi$). C’est ce qui donne toutes les solutions.

6.2 Changement de Variable

Pour résoudre $2\cos^2 x – 3\cos x + 1 = 0$, on pose $X = \cos x$. On résout $2X^2 – 3X + 1 = 0$, puis on revient à $x$.

VII. Inéquations Trigonométriques

La résolution se fait toujours graphiquement sur le cercle trigonométrique.

MÉTHODE

Placer les points correspondant aux solutions de l’équation ($\cos x = a$).
Colorier la partie de l’axe (des cosinus ou sinus) correspondant à l’inégalité.
Repérer l’arc de cercle correspondant.
Lire les intervalles solutions (attention au sens de parcours et aux bornes).

VIII. Synthèse et Erreurs Fréquentes

MUSÉE DES HORREURS

⛔ $\cos(a+b) = \cos a + \cos b$ (C’est Faux ! C’est non linéaire).
⛔ $\sin(2x) = 2\sin x$ (Faux ! C’est $2\sin x \cos x$).
⛔ Résoudre $\cos x = 2$ (Impossible, le cosinus est entre -1 et 1).
⛔ Oublier que $\tan x$ n’est pas définie pour $x = \pi/2 + k\pi$.