Caractérisation des Compacts Métriques
Dans le cadre général des espaces topologiques, la compacité est définie par les recouvrements d’ouverts. Dans les espaces métriques, nous avons vu que cela est équivalent à la compacité séquentielle (propriété de Bolzano-Weierstrass). Il existe une autre caractérisation, très puissante, qui relie la compacité à la complétude et à une nouvelle forme de « bornitude ».
Un espace métrique $(X, d)$ est dit totalement borné (ou précompact) si pour tout $\epsilon > 0$, on peut recouvrir $X$ par un nombre fini de boules ouvertes de rayon $\epsilon$.
Cette notion est plus forte que la notion habituelle d’espace borné. Un espace totalement borné est toujours borné, mais la réciproque peut être fausse en dimension infinie.
Un espace métrique $(X, d)$ est compact si et seulement s’il est à la fois complet et totalement borné.
Lien avec le Théorème de Heine-Borel
Ce théorème généralise le théorème de Heine-Borel que nous connaissons dans $\mathbb{R}^n$.
- Dans $\mathbb{R}^n$, une partie est totalement bornée si et seulement si elle est bornée.
- Dans $\mathbb{R}^n$, une partie est complète si et seulement si elle est fermée.
Ainsi, dans $\mathbb{R}^n$, la condition « complet et totalement borné » se traduit exactement par « fermé et borné », et nous retrouvons le théorème de Heine-Borel.
Exemple en Dimension Infinie
Considérons l’espace des fonctions continues $\mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})$ muni de la distance infinie. La boule unité fermée dans cet espace est un ensemble fermé et borné, mais elle n’est pas compacte. Le théorème de Baire montre qu’elle n’est pas totalement bornée : on ne peut pas la recouvrir par un nombre fini de petites boules. C’est un exemple où « fermé et borné » n’implique pas « compact ».