Introduction : L’ADN Additif d’un Anneau
La caractéristique d’un anneau (ou d’un corps) est un invariant fondamental qui décrit sa structure additive la plus profonde. Intuitivement, elle répond à la question : « Combien de fois faut-il additionner l’élément unité $1_A$ avec lui-même pour obtenir l’élément nul $0_A$ ? ».
Si ce processus n’aboutit jamais (comme dans $\mathbb{Z}$ ou $\mathbb{R}$), la caractéristique est nulle. Si l’on retombe sur zéro après $n$ additions, alors $n$ est la caractéristique. Cette simple valeur numérique, qui est soit zéro, soit un nombre premier pour les corps, a des conséquences considérables sur l’arithmétique et l’algèbre possibles au sein de l’anneau.
Soit $(A, +, \times)$ un anneau unitaire. Il existe un unique morphisme d’anneaux $\phi: \mathbb{Z} \to A$ défini par $\phi(n) = n \cdot 1_A$ (où $n \cdot 1_A = 1_A + \dots + 1_A$ $n$ fois).
Le noyau de ce morphisme, $\ker(\phi)$, est un idéal de $\mathbb{Z}$. Comme $\mathbb{Z}$ est un anneau principal, cet idéal est de la forme $n\mathbb{Z}$ pour un unique entier $n \ge 0$.
La caractéristique de l’anneau $A$, notée $\text{car}(A)$, est cet entier $n$.
La caractéristique d’un anneau $A$ est le plus petit entier strictement positif $n$ tel que : $$ \underbrace{1_A + 1_A + \dots + 1_A}_{n \text{ fois}} = n \cdot 1_A = 0_A $$ S’il n’existe aucun entier de ce type, la caractéristique est définie comme étant 0.
Propriétés Fondamentales
La caractéristique d’un anneau intègre (et donc d’un corps) est soit 0, soit un nombre premier.
Démonstration : Soit $A$ un anneau intègre de caractéristique $n > 0$. Supposons par l’absurde que $n$ ne soit pas premier. On peut alors l’écrire $n=ab$ avec $1 < a, b < n$.
Par définition de la caractéristique, $n \cdot 1_A = 0_A$. On a donc $(ab) \cdot 1_A = 0_A$.
Grâce aux propriétés des morphismes d’anneaux, on peut écrire $(a \cdot 1_A) \times (b \cdot 1_A) = 0_A$.
Puisque $A$ est intègre, l’un des deux facteurs doit être nul : $a \cdot 1_A = 0_A$ ou $b \cdot 1_A = 0_A$.
Mais cela contredit la définition de la caractéristique $n$ comme étant le plus petit entier strictement positif annulant $1_A$, car $a$ et $b$ sont strictement plus petits que $n$.
Donc, $n$ doit être un nombre premier.
Si $A$ est un anneau commutatif de caractéristique $p$ (où $p$ est premier), alors pour tous $x, y \in A$ et tout entier $k \ge 0$ : $$ (x+y)^{p^k} = x^{p^k} + y^{p^k} $$ Cette formule, qui ressemble à une erreur de débutant, est en fait correcte en caractéristique $p$ car tous les coefficients binomiaux $\binom{p}{i}$ pour $1 \le i \le p-1$ sont des multiples de $p$, et donc nuls dans l’anneau. L’application $x \mapsto x^p$ est un morphisme d’anneaux appelé morphisme de Frobenius.
Exemples de Caractéristiques
- Caractéristique 0 : Les anneaux $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ sont de caractéristique 0. Il n’existe aucun entier $n > 0$ tel que $n \cdot 1 = 0$.
- Caractéristique $n > 0$ : L’anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est l’exemple prototypique d’un anneau de caractéristique $n$. En effet, $n \cdot [1] = [n] = [0]$, et aucun entier plus petit ne convient.
- Caractéristique première $p$ : Le corps fini $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est de caractéristique $p$. C’est le plus petit corps de cette caractéristique, appelé le corps premier de caractéristique $p$.
- Caractéristique d’un produit : La caractéristique de l’anneau produit $A \times B$ est le plus petit commun multiple (PPCM) des caractéristiques de $A$ et $B$. $\text{car}(A \times B) = \text{ppcm}(\text{car}(A), \text{car}(B))$. Par exemple, $\text{car}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}) = \text{ppcm}(2,3) = 6$. Notez que $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, qui est bien de caractéristique 6.
Conclusion
La caractéristique est un invariant essentiel qui sépare le monde des anneaux et des corps en deux univers : la caractéristique nulle, qui inclut nos systèmes de nombres habituels, et la caractéristique première $p$, qui régit les corps finis et une grande partie de la théorie des nombres et de la géométrie algébrique. Connaître la caractéristique d’un anneau est la première étape pour comprendre son comportement arithmétique.