Les cartes locales sont des outils fondamentaux en topologie différentielle, permettant de transporter localement la structure d’un espace euclidien vers une variété. Leur étude rigoureuse est essentielle pour comprendre les notions de variétés différentiables et de faisceaux.
Définition formelle d’une carte locale
Soit \( M \) un espace topologique. Une carte locale sur \( M \) est un couple \( (U, \varphi) \) où :
- \( U \subset M \) est un ouvert non vide.
- \( \varphi : U \to \varphi(U) \subset \mathbb{R}^n \) est un homéomorphisme vers un ouvert de \( \mathbb{R}^n \).
La composante \( \varphi \) est appelée représentation locale ou paramétrisation. L’entier \( n \) est la dimension de la carte.
Atlas et compatibilité
Un atlas sur \( M \) est une famille \( \mathcal{A} = \{ (U_\alpha, \varphi_\alpha) \}_{\alpha \in I} \) de cartes locales telles que :
\[
\bigcup_{\alpha \in I} U_\alpha = M.
\]
Deux cartes \( (U, \varphi) \) et \( (V, \psi) \) sont compatibles si les applications de transition :
\[
\psi \circ \varphi^{-1} : \varphi(U \cap V) \to \psi(U \cap V)
\]
sont des \( C^\infty \)-difféomorphismes (lorsqu’on considère des variétés différentiables). L’atlas est alors un atlas différentiable.
Théorème fondamental : maximalité des atlas
Étant donné un atlas \( \mathcal{A} \) sur \( M \), il existe un unique atlas maximal \( \overline{\mathcal{A}} \) contenant \( \mathcal{A} \), défini comme l’ensemble de toutes les cartes locales compatibles avec toutes les cartes de \( \mathcal{A} \).
Preuve :
L’ensemble \( \overline{\mathcal{A}} \) est non vide car \( \mathcal{A} \subset \overline{\mathcal{A}} \). Montrons l’unicité. Si \( \mathcal{B} \) est un autre atlas maximal contenant \( \mathcal{A} \), alors toute carte de \( \mathcal{B} \) est compatible avec \( \mathcal{A} \), donc appartient à \( \overline{\mathcal{A}} \). Ainsi \( \mathcal{B} \subset \overline{\mathcal{A}} \). Par maximalité de \( \mathcal{B} \), on a aussi \( \overline{\mathcal{A}} \subset \mathcal{B} \). Donc \( \mathcal{B} = \overline{\mathcal{A}} \).
\[ \blacksquare \]
Exemples concrets de cartes locales
Considérons la sphère unité \( S^2 \subset \mathbb{R}^3 \). Un atlas classique utilise les cartes de stéréographie :
\[
\varphi_N : S^2 \setminus \{N\} \to \mathbb{R}^2, \quad \varphi_N(x,y,z) = \left( \frac{x}{1-z}, \frac{y}{1-z} \right)
\]
où \( N = (0,0,1) \). De même pour le pôle Sud \( S \). Ces deux cartes forment un atlas de \( S^2 \).
Pour le tore \( T^2 = S^1 \times S^1 \), on peut utiliser le paramétrage angulaire :
\[
\varphi : (0,2\pi) \times (0,2\pi) \to T^2, \quad (\theta, \phi) \mapsto (\cos\theta, \sin\theta, \cos\phi, \sin\phi).
\]
Cette unique carte montre que \( T^2 \) est une variété de dimension 2.
Contre-exemple : espace non séparé
Soit \( M = \mathbb{R} \) muni de la topologie grossière (seuls \( \emptyset \) et \( \mathbb{R} \) sont ouverts). Toute application \( \varphi : U \to \mathbb{R}^n \) avec \( U \) non vide n’est pas un homéomorphisme car \( U \) n’est pas ouvert dans \( \mathbb{R} \). Ainsi, \( M \) n’admet aucune carte locale de dimension finie. Ceci illustre que l’hypothèse de structure topologique (Hausdorff) est nécessaire.
Propriétés des applications de transition
Soient \( (U, \varphi) \) et \( (V, \psi) \) deux cartes locales compatibles d’un atlas différentiable. Alors l’application de transition :
\[
\psi \circ \varphi^{-1} : \varphi(U \cap V) \subset \mathbb{R}^n \to \psi(U \cap V) \subset \mathbb{R}^n
\]
est de classe \( C^\infty \). En particulier, ses différentielles partielles \( \frac{\partial (\psi \circ \varphi^{-1})^i}{\partial x^j} \) sont continues. Cette propriété garantit la cohérence locale des structures euclidiennes.
Liens et ressources complémentaires
Pour approfondir les notions d’atlas et de variétés différentiables, consultez notre cours complet de mathématiques supérieures. La bibliothèque CultureMath propose également des articles spécialisés sur les structures différentiables.
Théorème de recollement
Soient \( \{ (U_\alpha, \varphi_\alpha) \}_{\alpha \in I} \) des cartes locales sur \( M \) telles que pour tout \( \alpha, \beta \), les applications de transition \( \varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{-1} \) soient des \( C^\infty \)-difféomorphismes. Alors l’union de ces cartes définit un atlas différentiable sur \( M \), et la structure différentiable engendrée est unique.
Preuve :
Montrons que l’atlas \( \mathcal{A} = \{ (U_\alpha, \varphi_\alpha) \} \) est compatible avec tout couple de cartes de \( \mathcal{A} \). Par hypothèse, pour \( \alpha \neq \beta \), \( \varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{-1} \) est \( C^\infty \). Pour une même carte, c’est trivial. Donc \( \mathcal{A} \) est un atlas différentiable. L’unicité de la structure découle du théorème de maximalité.
\[ \blacksquare \]