Algèbre linéaire et bilinéaire

Base et Matrice de Jordan Théorème : Réduction de Jordan Soit $u$ un endomorphisme d’un K-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$, dont le polynôme caractéristique $\chi_u$ est scindé sur $K$. Supposons que la factorisation de $\chi_u$ est : $$ \chi_u(X) = (X – \lambda_1)^{m_1} (X – \lambda_2)^{m_2} \dots (X – \lambda_r)^{m_r} $$ où les…

Décomposition de Dunford Dans cette section, nous considérons un K-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$, et un endomorphisme $u$ de $E$ dont le polynôme caractéristique $\chi_u$ est scindé sur $K$. Sa factorisation s’écrit : $$ \chi_u(X) = (X – \lambda_1)^{m_1} (X – \lambda_2)^{m_2} \dots (X – \lambda_r)^{m_r} $$ où les $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ sont…

Jordanisation d’un Endomorphisme Nilpotent Définition : Matrice Nilpotente de Jordan On appelle matrice nilpotente de Jordan toute matrice carrée diagonale par blocs, où chaque bloc diagonal est un bloc de Jordan nilpotent, c’est-à-dire une matrice de la forme : $$ N_k = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots \\ 0 & 0 &…

Endomorphismes Nilpotents Définition : Endomorphisme Nilpotent Soit $E$ un K-espace vectoriel. Un endomorphisme $u$ de $E$ est dit nilpotent s’il existe un entier naturel non nul $m$ tel que la $m$-ième puissance de $u$ soit l’endomorphisme nul : $u^m = 0$. Remarque L’endomorphisme nul est trivialement nilpotent. Si $u$ est nilpotent et $v$ est un…

Trigonalisation Définition : Endomorphisme Trigonalisable Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $u$ un endomorphisme de $E$. On dit que $u$ est trigonalisable (ou triangularisable) s’il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice représentative de $u$ est une matrice triangulaire supérieure. Remarque Si un endomorphisme est représenté par une matrice…

Diagonalisation Simultanée Lemme : Stabilité des Sous-espaces Propres Soient $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie, $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ qui commutent ($u \circ v = v \circ u$). Alors, tout sous-espace propre de $u$ est stable par $v$. Démonstration Soit $\lambda \in K$ une valeur propre de $u$ et $E_\lambda$ le…

Endomorphismes Diagonalisables Définition : Polynôme Scindé Soit $K$ un corps commutatif. Un polynôme $P \in K[X]$ est dit scindé sur $K$ s’il peut être factorisé en un produit de polynômes du premier degré à coefficients dans $K$. Autrement dit, $P$ s’écrit sous la forme : $$ P(X) = c \prod_{i=1}^r (X – \lambda_i)^{m_i} $$ où…

Sous-espaces Propres Définition : Sous-espace Propre Soit $u$ un endomorphisme d’un K-espace vectoriel $E$, et $\lambda \in K$ une de ses valeurs propres. On appelle sous-espace propre associé à la valeur propre $\lambda$, le sous-espace vectoriel de $E$ noté $E_\lambda$ et défini par : $$ E_\lambda = Ker(u – \lambda Id_E) $$ Remarque Un vecteur…

Valeurs Propres et Vecteurs Propres Définition : Valeurs Propres et Vecteurs Propres Soit $E$ un K-espace vectoriel et $u$ un endomorphisme de $E$. Un scalaire $\lambda \in K$ est appelé une valeur propre de $u$ s’il existe un vecteur non nul $x \in E$ tel que $u(x) = \lambda x$. Un tel vecteur $x$ est…

Théorème de Décomposition des Noyaux Théorème de Décomposition des Noyaux Soit $u$ un endomorphisme d’un K-espace vectoriel $E$. Soient $P_1$ et $P_2$ deux polynômes de $K[X]$ tels que : $P_1$ et $P_2$ sont premiers entre eux. Le polynôme produit $P_1 P_2$ est un polynôme annulateur de $u$, i.e., $(P_1 P_2)(u) = 0$. Alors, l’espace $E$…