Algèbre linéaire et bilinéaire

Déterminant d’un Système de Vecteurs Définition : Déterminant d’un Système de Vecteurs Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$, et soit $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$. Pour une famille de $n$ vecteurs $(x_1, \dots, x_n) \in E^n$, où chaque vecteur $x_j$ se décompose en $x_j = \sum_{i=1}^n a_{ij}e_i$, on…

Formes Multilinéaires Alternées Définition : Formes Symétriques, Antisymétriques et Alternées Soit $E$ un K-espace vectoriel, $p \ge 1$ un entier, et $f: E^p \to K$ une forme p-linéaire. $f$ est dite symétrique si sa valeur est invariante par permutation de ses arguments : $\forall \sigma \in S_p, \forall (x_1, \dots, x_p) \in E^p, \quad f(x_{\sigma(1)},…

Formes Multilinéaires : Définitions et Propriétés Définition : Forme p-linéaire Soit $E$ un K-espace vectoriel et $p$ un entier supérieur ou égal à 1. Une application $f: E^p \to K$ est appelée une forme p-linéaire sur $E$ si elle est linéaire par rapport à chacune de ses variables. Autrement dit, pour tout indice $i \in…

Exercices Corrigés : Dualité et Formes Linéaires Exercice 1 Pour chaque entier $n \ge 1$, on considère l’espace $\mathbb{R}_n[X]$ des polynômes de degré au plus $n$. Soit $\varphi$ l’application définie par $\varphi(P) = \int_0^1 P(t)dt$. Montrer que $\varphi$ est une forme linéaire sur $\mathbb{R}_n[X]$. Pour chaque $i \in \{0, \dots, n\}$, soit $\varphi_i(P) = P(\frac{i}{n})$….

Transposée d’une Application Linéaire Définition : Application Transposée Soient $E$ et $F$ deux K-espaces vectoriels et $f: E \to F$ une application linéaire. On appelle application transposée de $f$, notée ${}^t f$, l’application linéaire de $F^*$ dans $E^*$ définie par : $$ \forall \varphi \in F^*, \quad {}^t f(\varphi) = \varphi \circ f $$ Remarque…

Le Bidual d’un Espace Vectoriel Définition : Espace Bidual Soit $E$ un K-espace vectoriel. On appelle espace bidual de $E$, noté $E^{**}$, le dual de son espace dual $E^*$. Autrement dit : $$ E^{**} = (E^*)^* = L(E^*, K) $$ Les éléments de $E^{**}$ sont donc des formes linéaires agissant sur des formes linéaires. Remarque…

Orthogonalité dans l’Espace Dual Définition : Orthogonal et Pré-orthogonal Soit $E$ un K-espace vectoriel. Pour toute partie non vide $A$ de $E$, l’orthogonal de $A$, noté $A^\perp$, est le sous-ensemble de l’espace dual $E^*$ des formes linéaires qui s’annulent sur tous les éléments de $A$ : $$ \forall \varphi \in E^*, \quad \varphi \in A^\perp…

Prolongement des Formes Linéaires Théorème : Prolongement des Formes Linéaires Soit $E$ un K-espace vectoriel quelconque et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Toute forme linéaire définie sur $F$ peut être étendue en une forme linéaire sur l’espace $E$ tout entier. Démonstration Soit $\psi$ une forme linéaire sur $F$. Comme tout sous-espace vectoriel admet un…

Base Préduale Lemme : Matrice de Passage des Bases Duales Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie, et soient $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ et $\gamma = (v_1, \dots, v_n)$ deux bases de $E$. Notons $\beta^*$ et $\gamma^*$ leurs bases duales respectives. Si $P$ est la matrice de passage de $\beta$ à $\gamma$, alors…

Base Duale Proposition : Existence et Unicité de la Base Duale Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension $n$, et soit $\beta = (e_1, e_2, \dots, e_n)$ une base quelconque de $E$. Pour chaque indice $i \in \{1, \dots, n\}$, il existe une unique forme linéaire $e_i^* \in E^*$ définie par la relation : $$…