Méthodes

Calculer une Intégrale Généralisée Convergente Une intégrale généralisée (ou impropre) est une extension de l’intégrale définie aux cas où : L’intervalle d’intégration est infini (ex: $[a, +\infty)$). La fonction à intégrer n’est pas définie ou n’est pas bornée à l’une des bornes de l’intervalle. Le calcul de sa valeur, si elle existe, passe systématiquement par…

Comment Étudier la Convergence d’une Intégrale Généralisée Comment Étudier la Convergence d’une Intégrale Généralisée Une intégrale est dite généralisée (ou impropre) si au moins une de ses bornes est infinie, ou si la fonction à intégrer n’est pas définie (et tend vers l’infini) en une borne. On ne peut pas la calculer directement ; il…

Comment Calculer une Intégrale par Symétrie Comment Calculer une Intégrale par Symétrie Utiliser la symétrie est une technique puissante qui ne s’applique que dans un cas précis : lorsque l’on intègre une fonction sur un intervalle centré en 0, c’est-à-dire un intervalle de la forme $[-a, a]$. La méthode repose sur la parité de la…

Comment Calculer la Valeur Moyenne d’une Fonction Comment Calculer la Valeur Moyenne d’une Fonction La valeur moyenne d’une fonction continue $f$ sur un intervalle $[a, b]$ est la hauteur d’un rectangle qui aurait la même aire que l’aire sous la courbe de la fonction sur ce même intervalle. C’est une notion fondamentale en calcul intégral….

Calculer une Intégrale par Intégration par Parties (IPP) L’intégration par parties (IPP) est l’analogue de la dérivation d’un produit pour le calcul intégral. C’est la méthode de choix lorsque l’on doit intégrer un produit de fonctions, comme un polynôme multiplié par une exponentielle ou une fonction trigonométrique. Formule de l’Intégration par Parties Soient $u$ et…

Calculer une Intégrale par Intégration par Parties (IPP) L’intégration par parties (IPP) est l’analogue de la dérivation d’un produit pour le calcul intégral. C’est la méthode de choix lorsque l’on doit intégrer un produit de fonctions, comme un polynôme multiplié par une exponentielle ou une fonction trigonométrique. Formule de l’Intégration par Parties Soient $u$ et…

Comment Trouver le DL d’un Produit de Fonctions Pour trouver le développement limité (DL) d’un produit de deux fonctions $f(x) \cdot g(x)$, il ne faut surtout pas multiplier les DL complets avec les termes $o(x^n)$. La méthode consiste à ne travailler qu’avec les parties polynomiales. La Règle du Produit Si les DL de $f$ et…

Maîtriser les Développements Limités Usuels en 0 Les développements limités des fonctions usuelles sont les briques de base de tous les calculs. Il est impératif de les connaître par cœur. Cette fiche se concentre sur les 4 plus importants et donne des astuces pour les retenir. La fonction exponentielle : $e^x$ C’est le DL le…

Comment Calculer le Développement Limité d’une Fonction en 0 Un développement limité (DL) d’une fonction $f$ au voisinage de 0 à l’ordre $n$ est une approximation de $f(x)$ par un polynôme de degré au plus $n$. L’erreur commise dans cette approximation est contrôlée par le terme $o(x^n)$, qui représente une fonction négligeable devant $x^n$ quand…

Comment Montrer qu’une Fonction est Lipschitzienne Une fonction lipschitzienne est une fonction dont le taux d’accroissement est borné sur son domaine. Intuitivement, cela signifie que la pente des cordes reliant deux points quelconques de la courbe ne peut pas dépasser une certaine valeur. C’est une condition de régularité plus forte que la continuité uniforme. Définition…