Théorèmes

Théorème de Lagrange (Groupes et Analyse) Théorème de Lagrange (Théorie des Groupes) Contexte : Groupes et Sous-groupes Finis En algèbre, un groupe est un ensemble muni d’une loi de composition interne (comme l’addition ou la multiplication) qui est associative, possède un élément neutre et pour laquelle chaque élément a un inverse. L’ordre d’un groupe fini,…

Fonction Zêta de Riemann et l’Hypothèse de Riemann Définition : La Fonction Zêta de Riemann La fonction zêta de Riemann, notée $\zeta(s)$, est une fonction d’une variable complexe $s$. Pour tout nombre complexe $s$ dont la partie réelle est strictement supérieure à 1 ($Re(s) > 1$), elle est définie par la série de Dirichlet :…

Théorème d’Euclide sur l’Infinité des Nombres Premiers Contexte : Nombres Premiers Un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1 qui n’est divisible que par 1 et par lui-même. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc. Le théorème fondamental de l’arithmétique nous apprend que tout entier supérieur à 1…

Théorème Fondamental de l’Arithmétique Contexte : Nombres Premiers et Composés Un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1 qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même (par exemple 2, 3, 5, 7, 11…). Un entier naturel supérieur à 1 qui n’est pas premier est dit composé. Il peut être « cassé » en un…

Théorème de Baker Contexte : Formes Linéaires en Logarithmes En théorie des nombres transcendants, on étudie les propriétés arithmétiques de nombres comme $e$ ou $\pi$. Un problème central est de comprendre la nature des formes linéaires en logarithmes. Soient $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ des nombres algébriques non nuls. Une forme linéaire en leurs logarithmes est une…

Théorème de Thue-Siegel-Roth Contexte : Approximation Diophantienne L’approximation diophantienne est la branche des mathématiques qui étudie la qualité avec laquelle les nombres réels peuvent être approchés par des nombres rationnels. Un nombre réel $\alpha$ est dit algébrique s’il est racine d’un polynôme non nul à coefficients entiers. Par exemple, $\sqrt{2}$ est algébrique car il est…

Théorème de Finitude de Siegel Contexte : Points Entiers sur les Courbes Algébriques Une équation diophantienne est une équation polynomiale à coefficients entiers dont on cherche les solutions entières. Géométriquement, l’ensemble des solutions (réelles ou complexes) d’une équation polynomiale $P(x,y)=0$ forme une courbe algébrique. Chercher les solutions entières revient à chercher les points de cette…

Théorème de Green-Tao Contexte : Progressions Arithmétiques Une progression arithmétique de longueur $k$ est une suite de $k$ nombres de la forme : $$ a, a+d, a+2d, \dots, a+(k-1)d $$ où $a$ est le premier terme et $d$ est la raison. Le théorème de van der Waerden (1927) affirme que si l’on colorie les entiers…

Postulat de Bertrand Contexte : La Raréfaction des Nombres Premiers Le théorème d’Euclide nous assure qu’il existe une infinité de nombres premiers. Cependant, le théorème des nombres premiers nous apprend qu’ils se raréfient à mesure que l’on considère des nombres de plus en plus grands. Une question naturelle se pose alors : peut-on garantir que…

Théorème de Dirichlet sur la Progression Arithmétique Contexte : Nombres Premiers et Progressions Arithmétiques Une progression arithmétique est une suite de nombres de la forme $a, a+n, a+2n, a+3n, \dots$, où $a$ est le premier terme et $n$ est la raison. Le théorème d’Euclide nous apprend qu’il existe une infinité de nombres premiers. Une question…