Théorèmes

Théorème de Fubini-Tonelli Contexte : Intégrales Multiples Considérons une fonction de deux variables, $f(x,y)$, et deux espaces mesurés $(X, \mathcal{A}, \mu)$ et $(Y, \mathcal{B}, \nu)$. On peut définir une mesure produit sur l’espace $X \times Y$. L’intégrale de $f$ sur cet espace produit est notée $\int_{X \times Y} f(x,y) \, d(\mu \otimes \nu)$. En pratique,…

Théorème de la Convergence Monotone et Lemme de Fatou Lemme de Fatou Lemme de Fatou Soit $(X, \mathcal{A}, \mu)$ un espace mesuré. Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions mesurables de $X$ dans $[0, +\infty]$. Alors : $$ \int_X \left(\liminf_{n \to \infty} f_n\right) \, d\mu \le \liminf_{n \to \infty} \int_X f_n \, d\mu $$…

Théorème de la Convergence Monotone Version 1 : Théorème de la Convergence Monotone pour les Suites Réelles Contexte : Suites Monotones Une suite de nombres réels $(u_n)$ est dite monotone si elle est soit croissante ($u_{n+1} \ge u_n$ pour tout $n$), soit décroissante ($u_{n+1} \le u_n$ pour tout $n$). Elle est dite bornée si l’ensemble…

Théorème de Baire Contexte : Espaces Complets et Ensembles Maigres Pour formuler le théorème de Baire, nous avons besoin de plusieurs concepts de topologie. Espace Métrique Complet : Un espace métrique $(E, d)$ est dit complet si toute suite de Cauchy de points de $E$ converge vers un point de $E$. Intuitivement, il n’y a…

Théorème de Heine-Borel Contexte : Compacité et Recouvrements La notion de compacité est centrale en analyse et en topologie. Intuitivement, un ensemble compact est un ensemble qui possède des propriétés de « finitude », même s’il est infini. La définition formelle de la compacité est assez abstraite : Recouvrement Ouvert : Un recouvrement ouvert d’un ensemble $A$…

Critère de Convergence de Cauchy Définition : Suite de Cauchy Une suite réelle $(u_n)$ est dite de Cauchy si ses termes deviennent arbitrairement proches les uns des autres à partir d’un certain rang. Formellement : $$ \forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tel que } \forall p \ge q \ge n_0, \quad…

Théorème de Bolzano-Weierstrass Contexte : Suites Bornées et Sous-suites En analyse, on étudie le comportement des suites de nombres réels. Une suite $(u_n)$ est dite bornée s’il existe un nombre réel $M$ tel que $|u_n| \le M$ pour tous les termes de la suite. Géométriquement, tous les termes de la suite sont contenus dans un…

Formule de Taylor avec Reste de Lagrange Les formules de Taylor permettent d’approcher une fonction suffisamment dérivable au voisinage d’un point par un polynôme, dont les coefficients dépendent des dérivées successives de la fonction en ce point. La version avec reste de Lagrange donne une expression exacte de l’erreur d’approximation. Formule de Taylor-Lagrange Soit $f$…

Règles de de l’Hospital Règles de de l’Hospital Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a,b[$ et dérivables sur $]a,b[$. Cas de la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ : Si $f(a)=g(a)=0$ et si la limite $\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe (qu’elle soit finie ou infinie), alors : $$ \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x…

Théorème de la Valeur Moyenne pour les Intégrales Inégalité de la Moyenne Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur $[a, b]$. Si $g$ est positive sur $[a, b]$ et si $f$ est bornée, c’est-à-dire $m \le f(x) \le M$ pour tout $x \in [a,b]$, alors : $$ m \int_a^b g(x)dx \le \int_a^b f(x)g(x)dx \le…