Théorèmes

Théorème des Accroissements Finis Théorème des Accroissements Finis Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$ et dérivable sur l’intervalle ouvert $]a, b[$. Alors, il existe au moins un réel $c \in ]a, b[$ tel que : $$ f(b) – f(a) = f'(c)(b-a) $$ Interprétation Géométrique Le terme $\frac{f(b) – f(a)}{b – a}$…

Théorème de Rolle Théorème de Rolle Soit $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction qui satisfait les trois conditions suivantes : $f$ est continue sur l’intervalle fermé $[a,b]$. $f$ est dérivable sur l’intervalle ouvert $]a,b[$. $f(a) = f(b)$. Alors, il existe au moins un réel $c$ dans l’intervalle ouvert $]a,b[$ tel que la dérivée de $f$…

Théorème des Valeurs Intermédiaires Contexte : Fonctions Continues sur un Intervalle Une fonction $f$ est dite continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en chaque point de cet intervalle. Intuitivement, cela signifie que l’on peut tracer sa courbe représentative « sans lever le crayon ». Le théorème des valeurs intermédiaires est une formalisation de cette…

Théorème Fondamental de l’Analyse Contexte : Dérivation et Intégration Le calcul différentiel et le calcul intégral ont été développés historiquement pour résoudre des problèmes a priori distincts : La dérivation s’intéresse au taux de variation instantané d’une fonction (la pente de la tangente à une courbe). L’intégration s’intéresse au calcul d’aires sous une courbe (l’accumulation…

Loi d’Inertie de Sylvester Contexte : Réduction des Formes Quadratiques Soit $q$ une forme quadratique sur un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$. Le théorème sur l’existence de bases orthogonales nous assure qu’il existe toujours une base $(e_1, \dots, e_n)$ dans laquelle l’expression de $q$ est une somme de carrés pondérée : $$ q(x)…

Règle de Cramer Contexte : Systèmes de Cramer Considérons un système de $n$ équations linéaires à $n$ inconnues, écrit sous forme matricielle : $$ AX = B $$ Un tel système est appelé un système de Cramer si sa matrice des coefficients $A$ est carrée et inversible. Cette condition est équivalente à dire que le…

Théorème de la Décomposition de Jordan Contexte : Au-delà de la Diagonalisation Un endomorphisme $u$ d’un espace vectoriel $E$ est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples. Cependant, de nombreux endomorphismes ne satisfont pas cette condition. Par exemple, si le polynôme minimal a des racines multiples. La décomposition de…

Théorème de la Décomposition en Valeurs Singulières (SVD) Contexte : Diagonalisation et Matrices Rectangulaires Le théorème spectral nous apprend que les matrices symétriques (ou hermitiennes) sont diagonalisables dans une base orthonormale. Cependant, la diagonalisation n’est pas possible pour toutes les matrices carrées, et la notion même de diagonalisation n’a pas de sens pour les matrices…

Théorème Spectral Version Réelle (pour les Espaces Euclidiens) Contexte Soit $E$ un espace euclidien (un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire) et $u$ un endomorphisme de $E$. On dit que $u$ est symétrique (ou autoadjoint) s’il est égal à son propre adjoint : $u^*=u$. Cela équivaut à dire que sa matrice dans…

Théorème de Cayley-Hamilton Contexte : Polynômes d’Endomorphismes et Polynôme Caractéristique Soit $u$ un endomorphisme d’un K-espace vectoriel $E$ de dimension finie (ou $A$ une matrice carrée). Polynôme d’endomorphisme : Pour tout polynôme $P(X) = \sum a_k X^k$, on peut l’évaluer en $u$ pour obtenir un nouvel endomorphisme $P(u) = \sum a_k u^k$. Polynôme caractéristique :…