Centre de Masse et Moments d’Inertie
En mécanique, le mouvement d’un objet étendu (non ponctuel) peut être décomposé en un mouvement de translation de son centre de masse et un mouvement de rotation autour de ce centre. Le moment d’inertie caractérise la résistance de l’objet à cette rotation. Les intégrales multiples sont les outils parfaits pour calculer ces deux grandeurs fondamentales.
[Image du centre de masse d’une clé à molette]1. Centre de Masse (ou Centre d’Inertie)
Le centre de masse d’un système est la position moyenne de sa masse. C’est le point d’équilibre de l’objet. Si vous lancez un objet en l’air, comme une clé à molette, l’objet peut tournoyer de manière complexe, mais son centre de masse suivra une trajectoire parabolique simple, comme s’il s’agissait d’un point matériel.
Pour un objet occupant une région $E$ de l’espace avec une masse volumique $\rho(x,y,z)$, on calcule d’abord la masse totale $M = \iiint_E \rho \,dV$. Les coordonnées $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$ du centre de masse sont alors la moyenne des positions, pondérée par la densité :
$$ \bar{x} = \frac{1}{M} \iiint_E x \rho(x,y,z) \,dV $$ $$ \bar{y} = \frac{1}{M} \iiint_E y \rho(x,y,z) \,dV $$ $$ \bar{z} = \frac{1}{M} \iiint_E z \rho(x,y,z) \,dV $$Pour une plaque plane occupant un domaine $D \subset \mathbb{R}^2$ avec une densité surfacique $\sigma(x,y)$, les formules sont similaires : $$ \bar{x} = \frac{1}{M} \iint_D x \sigma(x,y) \,dA, \quad \bar{y} = \frac{1}{M} \iint_D y \sigma(x,y) \,dA $$
Si l’objet est homogène (densité constante), son centre de masse, alors appelé centroïde, ne dépend que de sa forme géométrique.
2. Moments d’Inertie
Le moment d’inertie est à la rotation ce que la masse est à la translation : il mesure l’inertie de l’objet, c’est-à-dire sa résistance au changement de son état de rotation. Un moment d’inertie élevé signifie qu’il est difficile de faire tourner l’objet ou de l’arrêter une fois qu’il tourne.
Il dépend non seulement de la masse de l’objet, mais aussi de la manière dont cette masse est répartie par rapport à l’axe de rotation.
Le moment d’inertie est la somme des masses de chaque point, pondérées par le carré de leur distance à l’axe de rotation.
Pour un solide $E$ de densité $\rho$, les moments d’inertie par rapport aux axes de coordonnées sont :
- Par rapport à l’axe des $x$ (distance à l’axe : $\sqrt{y^2+z^2}$) : $$ I_x = \iiint_E (y^2+z^2) \rho(x,y,z) \,dV $$
- Par rapport à l’axe des $y$ (distance à l’axe : $\sqrt{x^2+z^2}$) : $$ I_y = \iiint_E (x^2+z^2) \rho(x,y,z) \,dV $$
- Par rapport à l’axe des $z$ (distance à l’axe : $\sqrt{x^2+y^2}$) : $$ I_z = \iiint_E (x^2+y^2) \rho(x,y,z) \,dV $$
Cette dépendance en $r^2$ est cruciale. Une patineuse artistique qui tourne sur elle-même peut accélérer considérablement sa vitesse de rotation simplement en ramenant ses bras le long de son corps. En réduisant la distance de ses bras à l’axe de rotation, elle diminue son moment d’inertie, et par conservation du moment cinétique, sa vitesse angulaire augmente.