Champ à Divergence Nulle (Champ Solénoïdal)
Symétriquement aux champs de gradient qui sont irrotationnels, il existe une classe de champs de vecteurs qui sont à divergence nulle. Ces champs, appelés champs solénoïdaux, décrivent des phénomènes de conservation de flux, comme l’écoulement d’un fluide incompressible ou le champ magnétique.
1. Définition et Interprétation
Un champ de vecteurs $F$ sur un ouvert $U \subset \mathbb{R}^p$ est dit à divergence nulle ou solénoïdal si sa divergence est nulle en tout point de $U$. $$ \text{div } F = 0 $$
Interprétation physique : La divergence mesure le flux net sortant d’un volume infinitésimal. Une divergence nulle signifie que le flux entrant est exactement égal au flux sortant.
- Il n’y a ni source ni puits dans le champ.
- Si $F$ représente la vitesse d’un fluide, cela signifie que le fluide est incompressible.
- Les lignes de champ d’un champ solénoïdal doivent « se refermer » sur elles-mêmes ou s’étendre à l’infini. Elles ne peuvent pas naître ou mourir en un point.
2. Le Potentiel Vecteur
Tout comme un champ de gradient dérive d’un potentiel scalaire, un champ solénoïdal (sous certaines conditions) dérive d’un potentiel vecteur.
Si un champ de vecteurs $F$ (dans $\mathbb{R}^3$) dérive d’un potentiel vecteur $A$ (c’est-à-dire $F = \text{rot } A$), alors sa divergence est nécessairement nulle. $$ F = \text{rot } A \implies \text{div } F = 0 $$ C’est une conséquence directe de l’identité fondamentale $\text{div}(\text{rot } A) = 0$.
La réciproque, comme pour le potentiel scalaire, est vraie sur des domaines topologiquement simples.
Si un champ de vecteurs $F$ (dans $\mathbb{R}^3$) est à divergence nulle ($\text{div } F = 0$) sur un domaine étoilé (ou « contractile »), alors il existe un champ de vecteurs $A$, appelé potentiel vecteur, tel que : $$ F = \text{rot } A $$
Remarque sur l’unicité : Le potentiel vecteur n’est pas unique. Si $A$ est un potentiel vecteur pour $F$, alors $A + \nabla f$ (où $f$ est un champ scalaire quelconque) est aussi un potentiel vecteur pour $F$, car $\text{rot}(A + \nabla f) = \text{rot } A + \text{rot}(\nabla f) = \text{rot } A + \vec{0} = F$. Cette liberté dans le choix du potentiel est appelée « invariance de jauge » en physique.
3. Exemples
Le Champ Magnétique
En électromagnétisme, une des équations de Maxwell est $\text{div } \vec{B} = 0$.
Cette loi fondamentale stipule que le champ magnétique $\vec{B}$ est un champ solénoïdal.
Interprétation physique : Il n’existe pas de « charges magnétiques » (ou monopôles magnétiques) qui seraient les sources ou les puits du champ $\vec{B}$. Les lignes de champ magnétique se referment toujours sur elles-mêmes.
Puisque $\text{div } \vec{B} = 0$, le lemme de Poincaré garantit l’existence d’un potentiel vecteur $\vec{A}$ tel que :
$$ \vec{B} = \text{rot } \vec{A} $$
Ce potentiel vecteur est un outil de calcul fondamental en électrodynamique.
Le Champ Rotationnel Pur
Considérons le champ $F(x,y,z) = (-y, x, 0)$.
Nous avons déjà calculé sa divergence :
$$ \text{div } F = \frac{\partial(-y)}{\partial x} + \frac{\partial(x)}{\partial y} + \frac{\partial(0)}{\partial z} = 0 + 0 + 0 = 0 $$
Le champ est bien solénoïdal. On peut donc lui trouver un potentiel vecteur. Par exemple, le champ $A(x,y,z) = (0, 0, \frac{1}{2}(x^2+y^2))$ est un potentiel vecteur possible pour $F$.