Champ de Gradient (Potentiel Scalaire)
Certains champs de vecteurs ont une structure particulière : ils peuvent être « dérivés » d’un champ scalaire. Ces champs, appelés champs de gradient ou champs conservatifs, possèdent des propriétés remarquables qui simplifient grandement leur étude et qui ont des implications profondes en physique, notamment en mécanique et en électromagnétisme.
1. Définition
Soit $F$ un champ de vecteurs sur un ouvert $U \subset \mathbb{R}^p$.
- On dit que $F$ est un champ de gradient s’il existe une fonction scalaire $f: U \to \mathbb{R}$ de classe C¹ telle que $F$ soit le gradient de $f$. $$ F = \nabla f $$
- La fonction $f$ est alors appelée un potentiel scalaire pour le champ $F$.
Remarque sur l’unicité : Si $f$ est un potentiel scalaire pour $F$, alors pour toute constante $C \in \mathbb{R}$, la fonction $f+C$ est aussi un potentiel scalaire, car $\nabla(f+C) = \nabla f + \nabla C = \nabla f + \vec{0} = F$. Le potentiel scalaire n’est donc défini qu’à une constante additive près.
2. Propriété Fondamentale : le Rotationnel est Nul
La caractéristique principale d’un champ de gradient est qu’il ne « tourbillonne » pas. C’est une conséquence directe de l’identité $\text{rot}(\nabla f) = \vec{0}$.
Si un champ de vecteurs $F$ dérive d’un potentiel scalaire (c’est un champ de gradient), alors son rotationnel est nécessairement nul (il est irrotationnel). $$ F = \nabla f \implies \text{rot } F = \vec{0} $$
La question de la réciproque est plus subtile. Un champ irrotationnel dérive-t-il toujours d’un potentiel ? La réponse dépend de la topologie du domaine.
Si un champ de vecteurs $F$ est irrotationnel ($\text{rot } F = \vec{0}$) sur un domaine simplement connexe (un domaine « sans trou »), alors il existe un potentiel scalaire $f$ tel que $F = \nabla f$.
3. Interprétation Physique : Champs Conservatifs
En physique, un champ de force $\vec{F}$ qui dérive d’un potentiel est dit conservatif. Le potentiel scalaire, traditionnellement noté $U$ et pris avec un signe négatif, est l’énergie potentielle. $$ \vec{F} = -\nabla U $$
Cette relation a une conséquence majeure sur le travail de la force. Le travail $W_{A \to B}$ de la force $\vec{F}$ pour déplacer un objet d’un point $A$ à un point $B$ est donné par : $$ W_{A \to B} = \int_A^B \vec{F} \cdot d\vec{r} = U(A) – U(B) = -\Delta U $$
- Le travail ne dépend que des points de départ et d’arrivée, et non du chemin suivi pour aller de l’un à l’autre.
- Le travail sur un chemin fermé est toujours nul.
- L’énergie mécanique totale (cinétique + potentielle) est conservée au cours du mouvement, d’où le nom de « force conservative ».
4. Exemples
Le Champ de Gravitation Newtonien
La force de gravitation exercée par une masse $M$ à l’origine sur une masse $m$ en $\vec{r}=(x,y,z)$ est : $$ \vec{F}(\vec{r}) = -G \frac{Mm}{\|\vec{r}\|^2} \frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|} = -G \frac{Mm}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} (x,y,z) $$ Ce champ dérive de l’énergie potentielle gravitationnelle : $$ U(x,y,z) = -G \frac{Mm}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} $$ On peut vérifier que $\vec{F} = -\nabla U$. C’est une force conservative.
Le Champ Électrostatique
La force électrostatique exercée par une charge $Q$ à l’origine sur une charge $q$ en $\vec{r}$ est donnée par la loi de Coulomb, qui a la même forme que la loi de gravitation. Elle dérive du potentiel électrique $V$. $$ \vec{E} = -\nabla V $$ Le champ électrostatique est donc un champ conservatif.