Définition d’un Champ de Vecteurs
Alors qu’un champ scalaire associe un nombre à chaque point de l’espace (comme la température ou la pression), un champ de vecteurs associe un vecteur à chaque point de l’espace. Cet objet mathématique est fondamental pour modéliser des phénomènes où une direction et une magnitude sont présentes en tout point, comme l’écoulement d’un fluide, un champ de forces gravitationnel ou un champ électrique.
1. Définition Formelle
Un champ de vecteurs est une fonction vectorielle dont l’espace de départ et l’espace d’arrivée ont la même dimension.
Un champ de vecteurs sur un ouvert $U \subset \mathbb{R}^p$ est une application $F$ de $U$ dans $\mathbb{R}^p$. $$ F: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^p $$ À chaque point (ou vecteur position) $x=(x_1, \dots, x_p) \in U$, la fonction $F$ associe un vecteur $F(x) = (F_1(x), \dots, F_p(x)) \in \mathbb{R}^p$.
Les fonctions $F_i: U \to \mathbb{R}$ sont les fonctions composantes du champ de vecteurs.
2. Représentation Graphique
Comme la dimension du graphe d’un champ de vecteurs ($p+p=2p$) est généralement supérieure à 3, on ne peut pas le visualiser directement. La représentation standard consiste à dessiner une sélection de vecteurs $F(x)$ en les attachant à leur point d’application $x$.
[Image d’un champ de vecteurs 2D complexe]Pour un champ de vecteurs sur $\mathbb{R}^2$, $F(x,y) = (F_1(x,y), F_2(x,y))$, on dessine en plusieurs points $(x,y)$ du plan une flèche représentant le vecteur $(F_1(x,y), F_2(x,y))$. La longueur de la flèche est proportionnelle à la norme du vecteur, et sa direction est celle du vecteur.
3. Exemples Fondamentaux dans $\mathbb{R}^2$
Champ de Vecteurs Constant
C’est le champ le plus simple : $F(x,y) = \vec{c}$, où $\vec{c}=(a,b)$ est un vecteur constant. En chaque point du plan, on attache le même vecteur. Cela peut représenter un vent uniforme ou un écoulement laminaire.
Exemple : $F(x,y) = (1, 0.5)$.
Champ Radial (ou Central)
Les vecteurs pointent tous vers l’origine ou s’en éloignent.
Exemple : $F(x,y) = (x,y)$. En chaque point $(x,y)$, le vecteur est le vecteur position lui-même. Il pointe en s’éloignant de l’origine, et sa norme grandit avec la distance à l’origine. Cela peut modéliser une source ou un puits.
Champ Rotationnel
Les vecteurs semblent « tourner » autour d’un point, généralement l’origine.
Exemple : $F(x,y) = (-y, x)$. En chaque point $(x,y)$, le vecteur $F(x,y)$ est orthogonal au vecteur position $(x,y)$ (car leur produit scalaire est $-yx+xy=0$) et a la même norme. Cela modélise un mouvement de rotation, comme un tourbillon.
4. Interprétation Physique
Les champs de vecteurs sont omniprésents en physique :
- Mécanique des fluides : Le champ de vecteurs des vitesses d’un fluide.
- Gravitation : Le champ de force gravitationnel créé par une masse. Pour une masse $M$ à l’origine, la force sur une masse test $m$ en $\vec{r}$ est $ \vec{F}(\vec{r}) = -G \frac{Mm}{\|\vec{r}\|^3} \vec{r} $. C’est un champ radial attractif.
- Électromagnétisme : Le champ électrique $\vec{E}$ et le champ magnétique $\vec{B}$ sont des champs de vecteurs qui décrivent les forces s’exerçant sur des charges.
5. Analyse des Champs de Vecteurs
L’étude des champs de vecteurs fait appel à des opérateurs différentiels spécifiques qui mesurent leurs propriétés locales. Les deux plus importants sont :
- La divergence, qui mesure la tendance du champ à « émaner » d’un point (comme une source) ou à y « converger » (comme un puits).
- Le rotationnel, qui mesure la tendance du champ à « tourbillonner » autour d’un point.