Choix du Système de Coordonnées
La réussite du calcul d’une intégrale triple dépend de manière cruciale du choix du système de coordonnées. Un mauvais choix peut mener à des bornes d’intégration très complexes et à des calculs inextricables, tandis que le bon système de coordonnées peut transformer le problème en une intégrale simple, souvent sur un domaine rectangulaire. La clé est d’analyser la géométrie du domaine d’intégration et la forme de la fonction à intégrer.
1. Quand utiliser les Coordonnées Cartésiennes $(x,y,z)$ ?
C’est le système par défaut. Il est particulièrement bien adapté lorsque :
- Le domaine d’intégration est un pavé rectangulaire (boîte).
- Le solide est délimité par des plans. Les tétraèdres, prismes et autres polyèdres sont de bons candidats.
- Les surfaces qui délimitent le solide ont des équations simples en $x,y,z$ qui ne présentent pas de symétrie de révolution ou sphérique (par exemple, un cylindre parabolique comme $z=x^2$).
Élément de volume : $dV = dx\,dy\,dz$
2. Quand utiliser les Coordonnées Cylindriques $(r, \theta, z)$ ?
Ce système est idéal lorsque le problème présente une symétrie de révolution autour de l’axe $z$.
- Le domaine d’intégration est un cylindre, un cône, un paraboloïde de révolution, ou une portion de ces objets.
- La fonction à intégrer contient l’expression $x^2+y^2$, qui se simplifie en $r^2$.
Élément de volume : $dV = r \,dr \,d\theta \,dz$
3. Quand utiliser les Coordonnées Sphériques $(\rho, \phi, \theta)$ ?
Ce système est le plus puissant lorsque le problème présente une symétrie par rapport à un point, généralement l’origine.
- Le domaine d’intégration est une sphère, une boule, ou une portion de celles-ci (hémisphère, secteur sphérique).
- Le domaine est un cône centré à l’origine (décrit par $\phi = \text{constante}$).
- La fonction à intégrer contient l’expression $x^2+y^2+z^2$, qui se simplifie en $\rho^2$.
Élément de volume : $dV = \rho^2\sin\phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta$
4. Tableau Récapitulatif
| Système | Coordonnées | Élément de Volume $dV$ | Domaines typiques |
|---|---|---|---|
| Cartésien | $(x,y,z)$ | $dx\,dy\,dz$ | Boîtes, prismes, tétraèdres |
| Cylindrique | $(r,\theta,z)$ | $r\,dr\,d\theta\,dz$ | Cylindres, cônes, paraboloïdes |
| Sphérique | $(\rho,\phi,\theta)$ | $\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$ | Sphères, boules, cônes à l’origine |