Circulation d’un Champ de Vecteurs
L’intégrale curviligne d’un champ de vecteurs $\vec{F}$ le long d’une courbe orientée $\mathcal{C}$ est appelée la circulation de $\vec{F}$ le long de $\mathcal{C}$. Cette notion est fondamentale en physique, où elle représente le travail d’un champ de force.
L’idée est de sommer, en chaque point de la trajectoire, la contribution de la force dans la direction du mouvement. Seule la composante de la force tangente à la trajectoire « travaille ». Cette contribution locale est mesurée par le produit scalaire entre le vecteur force $\vec{F}$ et le vecteur déplacement infinitésimal $d\vec{r}$.
[Image d’un champ de vecteurs avec le travail le long d’une courbe]1. La Formule de Calcul
Soit $\vec{F}$ un champ de vecteurs continu et $\mathcal{C}$ une courbe lisse orientée, paramétrée par $\vec{r}(t)$ pour $t \in [a,b]$.
La circulation de $\vec{F}$ le long de $\mathcal{C}$ est donnée par :
$$ \int_\mathcal{C} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_a^b \vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}\,'(t) \,dt $$
où :
- $\vec{F}(\vec{r}(t))$ est le champ de vecteurs évalué aux points de la courbe.
- $\vec{r}\,'(t)$ est le vecteur tangent, qui représente la direction et la vitesse du déplacement.
- $d\vec{r} = \vec{r}\,'(t) \,dt$ est le vecteur déplacement infinitésimal.
Important : Contrairement à l’intégrale d’un champ scalaire, la circulation dépend du sens de parcours de la courbe.
2. Méthodologie de Calcul
- Paramétrer la courbe $\mathcal{C}$ : Trouver $\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ pour $t \in [a,b]$, en respectant l’orientation demandée.
- Calculer le vecteur tangent : Dériver la paramétrisation pour obtenir $\vec{r}\,'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))$.
- Exprimer $\vec{F}$ en fonction du paramètre : Substituer $x, y, z$ dans l’expression de $\vec{F}$ par $x(t), y(t), z(t)$ pour obtenir $\vec{F}(\vec{r}(t))$.
- Calculer le produit scalaire : Calculer le produit scalaire $\vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}\,'(t)$. Le résultat est une fonction scalaire du paramètre $t$.
- Calculer l’intégrale simple : Intégrer la fonction obtenue à l’étape 4 sur l’intervalle $[a,b]$.
Exemple Détaillé : Travail d’un Champ de Force
Calculer le travail effectué par le champ de force $\vec{F}(x,y) = (-y, x)$ pour déplacer une particule le long du quart de cercle $\mathcal{C}$ d’équation $x^2+y^2=4$ dans le premier quadrant, du point $(2,0)$ au point $(0,2)$.
- Paramétrisation : Le quart de cercle de rayon 2 est paramétré par $\vec{r}(t) = (2\cos t, 2\sin t)$. Pour aller de $(2,0)$ à $(0,2)$, le paramètre $t$ varie de $0$ à $\pi/2$. $$ \vec{r}(t) = (2\cos t, 2\sin t), \quad t \in [0, \pi/2] $$
- Vecteur tangent : $\vec{r}\,'(t) = (-2\sin t, 2\cos t)$.
- Exprimer $\vec{F}$ en fonction de $t$ : $$ \vec{F}(\vec{r}(t)) = (-y(t), x(t)) = (-2\sin t, 2\cos t) $$
- Calculer le produit scalaire : $$ \vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}\,'(t) = (-2\sin t, 2\cos t) \cdot (-2\sin t, 2\cos t) $$ $$ = (-2\sin t)(-2\sin t) + (2\cos t)(2\cos t) = 4\sin^2 t + 4\cos^2 t = 4(\sin^2 t + \cos^2 t) = 4 $$ Le produit scalaire est constant. Cela signifie que le champ de force est toujours parfaitement tangent à la trajectoire circulaire.
- Calculer l’intégrale : Le travail $W$ est $\int_\mathcal{C} \vec{F} \cdot d\vec{r}$. $$ W = \int_0^{\pi/2} 4 \,dt = [4t]_0^{\pi/2} = 4(\pi/2) = 2\pi $$
Le travail effectué par le champ de force est de $2\pi$.