Comment calculer la limite d’une suite

Calculer la limite d’une suite, c’est déterminer le comportement de ses termes lorsque $n$ devient infiniment grand. Si les opérations de base sur les limites (somme, produit, quotient) sont souvent directes, la difficulté principale réside dans la gestion des formes indéterminées. Ce guide présente les techniques essentielles pour y parvenir.

Méthode 1 : Le « Terme de Plus Haut Degré » (Pour les Polynômes et Rationnels)

C’est la technique de base pour les formes $ »\infty – \infty »$ dans un polynôme ou $ »\frac{\infty}{\infty} »$ dans une fraction rationnelle. L’idée est que le terme de plus haut degré impose son comportement à l’infini.

Stratégie : Mettre en facteur le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur, puis simplifier.

Exemple : Calculer $\lim_{n \to \infty} (3n^2 – 5n + 1)$.
FI de type $ »\infty – \infty »$.
$3n^2 – 5n + 1 = n^2(3 – \frac{5}{n} + \frac{1}{n^2})$.
On a $\lim_{n \to \infty} n^2 = +\infty$ et $\lim_{n \to \infty} (3 – \frac{5}{n} + \frac{1}{n^2}) = 3 – 0 + 0 = 3$.
Par produit des limites, $\lim_{n \to \infty} (3n^2 – 5n + 1) = +\infty \times 3 = +\infty$.

Méthode 2 : L’Expression Conjuguée (Pour les Racines Carrées)

Cette méthode est très efficace pour lever les indéterminations $ »\infty – \infty »$ faisant intervenir des racines carrées. On utilise l’identité $(a-b)(a+b) = a^2 – b^2$.

Stratégie : Multiplier et diviser par l’expression conjuguée pour faire disparaître les racines au numérateur.

Exemple : Calculer $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+n} – n)$.
FI de type $ »\infty – \infty »$.
$\sqrt{n^2+n} – n = \frac{(\sqrt{n^2+n} – n)(\sqrt{n^2+n} + n)}{\sqrt{n^2+n} + n} = \frac{(n^2+n) – n^2}{\sqrt{n^2+n} + n} = \frac{n}{\sqrt{n^2(1+1/n)} + n}$.
Pour $n>0$, $\sqrt{n^2} = n$. Donc : $\frac{n}{n\sqrt{1+1/n} + n} = \frac{n}{n(\sqrt{1+1/n} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1+1/n} + 1}$.
Finalement, $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+1/n} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{1}{2}$.

Méthode 3 : Les Croissances Comparées

Lorsque des suites de natures différentes (puissances, exponentielles, logarithmes) sont en compétition, les croissances comparées permettent de déterminer qui « gagne » à l’infini.

Hiérarchie à retenir : À l’infini, les logarithmes sont « plus faibles » que les puissances, qui sont elles-mêmes « plus faibles » que les exponentielles.

• $\lim_{n \to \infty} \frac{(\ln n)^\alpha}{n^\beta} = 0$ (pour $\beta > 0$)
• $\lim_{n \to \infty} \frac{n^\alpha}{a^n} = 0$ (pour $a > 1$)

Exemple : Calculer $\lim_{n \to \infty} \frac{e^n}{n^2}$.
FI de type $ »\frac{\infty}{\infty} »$. D’après les croissances comparées, l’exponentielle l’emporte sur la puissance. Donc, $\lim_{n \to \infty} \frac{e^n}{n^2} = +\infty$.

Méthode 4 : Théorème des Gendarmes

Cette méthode est parfaite lorsque la suite est encadrée par deux autres suites qui tendent vers la même limite. C’est souvent le cas avec des fonctions trigonométriques comme sinus et cosinus.

Exemple : Calculer $\lim_{n \to \infty} \frac{3n + \cos(n)}{n+1}$.
On part de $-1 \le \cos(n) \le 1$.
$3n-1 \le 3n+\cos(n) \le 3n+1$.
Comme $n+1 > 0$, on peut diviser : $\frac{3n-1}{n+1} \le \frac{3n+\cos(n)}{n+1} \le \frac{3n+1}{n+1}$.
Le « gendarme de gauche » : $\lim_{n \to \infty} \frac{3n-1}{n+1} = 3$.
Le « gendarme de droite » : $\lim_{n \to \infty} \frac{3n+1}{n+1} = 3$.
Conclusion : D’après le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to \infty} \frac{3n+\cos(n)}{n+1} = 3$.