Comprendre la transposée d’une application linéaire

Comprendre la Transposée d’une Application Linéaire

Tout comme on peut transposer une matrice, on peut définir la transposée (ou l’adjointe) d’une application linéaire $f: E \to F$. Notée $f^T$ ou $f^*$, c’est une nouvelle application linéaire qui « va dans l’autre sens », de $F$ vers $E$, et qui est intimement liée à $f$ par le produit scalaire.

Exemple 1 : Endomorphisme de $\mathbb{R}^2$

Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x,y) = (x+2y, 3y-x)$.

1. Matrice de $f$ dans la base canonique (orthonormale) :
$f(1,0)=(1,-1)$ et $f(0,1)=(2,3)$.
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$.

2. Matrice de $f^T$ :
La matrice de $f^T$ est $A^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$.

3. Formule de $f^T$ :
L’image d’un vecteur $(x,y)$ par $f^T$ est donnée par le produit $A^T \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.
$A^T \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-y \\ 2x+3y \end{pmatrix}$.
Donc, $f^T(x,y) = (x-y, 2x+3y)$.

Exemple 2 : Application de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^3$

Soit $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ dont la matrice dans les bases canoniques est $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

1. Matrice de $g^T$ :
L’application $g^T$ va de $\mathbb{R}^3$ à $\mathbb{R}^2$. Sa matrice est $A^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$.

2. Formule de $g^T$ :
On calcule l’image d’un vecteur $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$.
$A^T \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2y \\ y-z \end{pmatrix}$.
Donc, $g^T(x,y,z) = (x+2y, y-z)$.

Exemple 3 : Vérification de la définition

Reprenons $f(x,y) = (x+2y, 3y-x)$ et $f^T(x,y) = (x-y, 2x+3y)$ de l’exemple 1.
Soient $u=(x_1, y_1)$ et $v=(x_2, y_2)$ deux vecteurs de $\mathbb{R}^2$. Vérifions que $\langle f(u), v \rangle = \langle u, f^T(v) \rangle$.

Calcul de gauche :
$\langle f(u), v \rangle = \langle (x_1+2y_1, 3y_1-x_1), (x_2, y_2) \rangle$
$= (x_1+2y_1)x_2 + (3y_1-x_1)y_2$
$= x_1x_2 + 2y_1x_2 + 3y_1y_2 – x_1y_2$.

Calcul de droite :
$\langle u, f^T(v) \rangle = \langle (x_1, y_1), (x_2-y_2, 2x_2+3y_2) \rangle$
$= x_1(x_2-y_2) + y_1(2x_2+3y_2)$
$= x_1x_2 – x_1y_2 + 2y_1x_2 + 3y_1y_2$.

Les deux résultats sont identiques, ce qui confirme la validité de la définition.