Les formules de dérivation pour un produit et un quotient sont fondamentales. Contrairement à la somme, la dérivée d’un produit n’est PAS le produit des dérivées. Il faut appliquer des formules spécifiques.
1. Dériver un Produit de Fonctions
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables, alors leur produit $f = u \cdot v$ est dérivable et sa dérivée est : $$(u \cdot v)’ = u’v + uv’$$
Étape 1 : Identifier $u(x)$ et $v(x)$.
- $u(x) = x^2$
- $v(x) = \sin(x)$
Étape 2 : Calculer $u'(x)$ et $v'(x)$.
- $u'(x) = 2x$
- $v'(x) = \cos(x)$
Étape 3 : Appliquer la formule $u’v + uv’$.
$f'(x) = (2x) \cdot (\sin(x)) + (x^2) \cdot (\cos(x))$Étape 4 : Simplifier (si possible).
$f'(x) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x)$2. Dériver un Quotient de Fonctions
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables et si $v(x) \neq 0$, alors leur quotient $f = \frac{u}{v}$ est dérivable et sa dérivée est : $$ \left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} $$
Attention : L’ordre dans la soustraction au numérateur est crucial !
Étape 1 : Identifier $u(x)$ et $v(x)$.
- $u(x) = 2x+3$ (le numérateur)
- $v(x) = x^2+1$ (le dénominateur)
Étape 2 : Calculer $u'(x)$ et $v'(x)$.
- $u'(x) = 2$
- $v'(x) = 2x$
Étape 3 : Appliquer la formule $\frac{u’v – uv’}{v^2}$.
$f'(x) = \frac{(2)(x^2+1) – (2x+3)(2x)}{(x^2+1)^2}$Étape 4 : Simplifier le numérateur.
$f'(x) = \frac{(2x^2+2) – (4x^2+6x)}{(x^2+1)^2}$$f'(x) = \frac{2x^2+2 – 4x^2-6x}{(x^2+1)^2}$
$f'(x) = \frac{-2x^2 – 6x + 2}{(x^2+1)^2}$