Une fonction n’est pas dérivable en un point $a$ si la limite du taux d’accroissement en ce point n’existe pas ou est infinie. Géométriquement, cela signifie que la courbe n’admet pas de tangente unique et « non verticale » en ce point.
Pour étudier la dérivabilité de $f$ en $a$, on doit toujours étudier la limite du taux d’accroissement : $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} $$ La fonction n’est pas dérivable en $a$ si cette limite :
- N’existe pas. C’est typiquement le cas lorsque les limites à gauche ($h \to 0^-$) et à droite ($h \to 0^+$) sont différentes. Cela crée un point anguleux.
- Est infinie ($+\infty$ ou $-\infty$). Cela correspond à une tangente verticale.
Rappel important : Si une fonction n’est pas continue en un point, elle ne peut pas y être dérivable.
Cas 1 : Le Point Anguleux (limites à gauche/droite différentes)
- Continuité : La fonction est bien continue en 0 car $\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$.
- Étude de la limite du taux d’accroissement :
Le taux d’accroissement est $\frac{f(0+h) – f(0)}{h} = \frac{|h| – 0}{h} = \frac{|h|}{h}$. - Calcul des limites à gauche et à droite :
- À droite ($h \to 0^+$) : $|h|=h$, donc $\lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = \lim_{h \to 0^+} 1 = 1$. Le nombre dérivé à droite est $f’_d(0)=1$.
- À gauche ($h \to 0^-$) : $|h|=-h$, donc $\lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = \lim_{h \to 0^-} -1 = -1$. Le nombre dérivé à gauche est $f’_g(0)=-1$.
Conclusion : Les nombres dérivés à gauche et à droite sont finis mais différents ($1 \neq -1$). La fonction $f(x)=|x|$ n’est donc pas dérivable en 0. La courbe présente un point anguleux à l’origine.
Cas 2 : La Tangente Verticale (limite infinie)
- Continuité : La fonction est continue en 0.
- Étude de la limite du taux d’accroissement :
$\lim_{h \to 0} \frac{g(0+h) – g(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{h} – 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^{1/3}}{h} = \lim_{h \to 0} h^{-2/3} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{h^2}}$. - Calcul de la limite :
Lorsque $h \to 0$ (par la droite ou la gauche), $h^2 \to 0^+$. Donc $\sqrt[3]{h^2} \to 0^+$.
La limite est donc $\lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{h^2}} = +\infty$.
Conclusion : La limite du taux d’accroissement est infinie. La fonction $g(x)=\sqrt[3]{x}$ n’est donc pas dérivable en 0. La courbe admet une tangente verticale à l’origine.