Savoir déterminer le sens de variation d’une suite est une compétence fondamentale en analyse. Une suite est dite croissante si chaque terme est supérieur ou égal au précédent. Cela traduit une idée d’augmentation, mais comment le prouver rigoureusement ? Il existe plusieurs méthodes adaptées à la forme de la suite.
Pour montrer qu’une suite $(u_n)$ est croissante, c’est-à-dire que pour tout entier $n$, $u_{n+1} \ge u_n$, on peut utiliser l’une des quatre approches suivantes :
- Étudier le signe de la différence : On calcule $u_{n+1} – u_n$ et on montre que le résultat est positif ou nul. C’est la méthode la plus générale.
- Comparer le quotient à 1 : Si la suite est à termes strictement positifs, on peut calculer le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et montrer qu’il est supérieur ou égal à 1.
- Utiliser une fonction associée : Si la suite est de la forme $u_n = f(n)$, on peut étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0, +\infty[$. Si $f$ est croissante, alors la suite $(u_n)$ l’est aussi.
- Le raisonnement par récurrence : Pour les suites définies par une relation de récurrence, on peut prouver la propriété $P(n) : « u_{n+1} \ge u_n »$ par récurrence.
Exemple 1 : Le signe de la différence $u_{n+1} – u_n$
C’est la méthode à essayer en premier, surtout pour les suites qui ressemblent à des polynômes.
Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = n^2 – 4n + 5$.
Calculons la différence $u_{n+1} – u_n$ :
$u_{n+1} – u_n = \left( (n+1)^2 – 4(n+1) + 5 \right) – (n^2 – 4n + 5)$
$= (n^2 + 2n + 1 – 4n – 4 + 5) – n^2 + 4n – 5$
$= n^2 – 2n + 2 – n^2 + 4n – 5$
$= 2n – 3$.
Nous devons étudier le signe de $2n – 3$.
$2n – 3 \ge 0 \iff 2n \ge 3 \iff n \ge 1.5$.
Comme $n$ est un entier, cette condition est vraie pour $n \ge 2$.
Conclusion : La suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang 2.
Exemple 2 : La comparaison du quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1
Cette méthode est très efficace pour les suites avec des factorielles, des puissances ou des produits.
Soit la suite $(u_n)$ définie pour $n \ge 1$ par $u_n = \frac{2^n}{n}$.
Les termes de la suite sont strictement positifs pour $n \ge 1$. On peut donc calculer le quotient :
$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2^{n+1}}{n+1} \div \frac{2^n}{n} = \frac{2^{n+1}}{n+1} \times \frac{n}{2^n}$
$= \frac{2 \cdot 2^n \cdot n}{(n+1) \cdot 2^n} = \frac{2n}{n+1}$.
Comparons ce quotient à 1 :
$\frac{2n}{n+1} \ge 1 \iff 2n \ge n+1$ (car $n+1 > 0$)
$\iff n \ge 1$.
Conclusion : La condition est vraie pour tout $n \ge 1$, donc la suite $(u_n)$ est croissante sur $\mathbb{N}^*$.
Exemple 3 : L’étude de la fonction associée
Idéale lorsque l’expression de $u_n$ est complexe mais que la fonction associée est facile à dériver.
Soit la suite $(u_n)$ définie pour $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = n – e^{-n}$.
On pose $u_n = f(n)$ avec la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}_+$ par $f(x) = x – e^{-x}$.
Étudions les variations de $f$ en calculant sa dérivée :
$f'(x) = 1 – (-e^{-x}) = 1 + e^{-x}$.
Pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, on a $e^{-x} > 0$. Par conséquent, $f'(x) = 1 + e^{-x} > 1$.
Puisque $f'(x) > 0$ sur $\mathbb{R}_+$, la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
Conclusion : La fonction $f$ étant croissante, la suite $(u_n)$ est strictement croissante pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Exemple 4 : Le raisonnement par récurrence
Indispensable pour les suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$.
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$.
Montrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \ge u_n$.
Initialisation (pour n=0) :
On a $u_0 = 1$.
$u_1 = \sqrt{2 + u_0} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$.
Comme $\sqrt{3} \approx 1.732$, on a bien $u_1 \ge u_0$. La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité :
Supposons que pour un certain entier $k \ge 0$, on ait $u_{k+1} \ge u_k$ (c’est l’hypothèse de récurrence).
Montrons que $u_{k+2} \ge u_{k+1}$.
On part de l’hypothèse de récurrence :
$u_{k+1} \ge u_k$
On ajoute 2 de chaque côté : $2 + u_{k+1} \ge 2 + u_k$.
Comme la fonction racine carrée est croissante sur $\mathbb{R}_+$, on peut l’appliquer de chaque côté (les termes sont positifs) :
$\sqrt{2 + u_{k+1}} \ge \sqrt{2 + u_k}$
Ce qui signifie, par définition de la suite : $u_{k+2} \ge u_{k+1}$.
Conclusion :
La propriété est initialisée et héréditaire. Par le principe de récurrence, on a bien $u_{n+1} \ge u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. La suite $(u_n)$ est donc croissante.
- Le choix de la méthode dépend de la forme de la suite. Pensez « différence » pour les polynômes, « quotient » pour les puissances/factorielles, et « fonction » si la dérivation simplifie le problème.
- N’oubliez pas de vérifier les conditions d’application : pour le quotient, la suite doit être strictement positive.
- Une suite peut être croissante seulement à partir d’un certain rang. Précisez-le dans votre conclusion.
- Croissante signifie $u_{n+1} \ge u_n$, tandis que strictement croissante signifie $u_{n+1} > u_n$. Soyez précis dans votre rédaction.