Comment Normaliser un Vecteur dans un Espace Euclidien
Normaliser un vecteur non nul, c’est trouver un autre vecteur qui a la même direction et le même sens, mais dont la norme (ou longueur) est égale à 1. Ce nouveau vecteur est appelé un vecteur unitaire. C’est une opération cruciale pour construire des bases orthonormales (avec Gram-Schmidt) ou pour représenter des directions pures en physique.
Soit $u$ un vecteur non nul d’un espace euclidien. Le vecteur normalisé de $u$, noté $\hat{u}$ ou $u_{norm}$, est obtenu en divisant le vecteur $u$ par sa propre norme $\|u\|$.
$\hat{u} = \frac{1}{\|u\|} u$
Rappel : la norme euclidienne d’un vecteur $u=(x_1, x_2, \dots, x_n)$ est calculée par $\|u\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$.
Exemple 1 : Vecteur dans $\mathbb{R}^2$
Soit le vecteur $u = (3, 4)$.
1. Calculer la norme de u :
$\|u\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
2. Diviser le vecteur par sa norme :
$\hat{u} = \frac{1}{5} u = \frac{1}{5}(3, 4) = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$.
Vérification : $\|\hat{u}\| = \sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25}} = \sqrt{1} = 1$.
Exemple 2 : Vecteur dans $\mathbb{R}^3$
Soit le vecteur $v = (1, -2, 2)$.
1. Calculer la norme de v :
$\|v\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
2. Diviser le vecteur par sa norme :
$\hat{v} = \frac{1}{3} v = \frac{1}{3}(1, -2, 2) = (\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$.
Exemple 3 : Vecteur avec une norme non entière
Soit le vecteur $w = (1, 1, 1, 1)$ dans $\mathbb{R}^4$.
1. Calculer la norme de w :
$\|w\| = \sqrt{1^2+1^2+1^2+1^2} = \sqrt{4} = 2$.
2. Diviser le vecteur par sa norme :
$\hat{w} = \frac{1}{2} w = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
- Vecteur nul : Le vecteur nul $(0,0,\dots,0)$ ne peut pas être normalisé car sa norme est 0 et la division par zéro est impossible.
- Vecteur unitaire : Si un vecteur a déjà une norme de 1, il est déjà normalisé. Le normaliser ne le change pas.
- Application principale : La normalisation est la dernière étape du procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt pour transformer une base orthogonale en une base orthonormale.