Tout comme pour la croissance, savoir démontrer qu’une suite est décroissante est une étape clé dans l’étude de son comportement. Une suite est dite décroissante si chaque terme est inférieur ou égal au précédent. Cela traduit une idée de diminution. Voyons ensemble les méthodes rigoureuses pour le prouver.
Pour montrer qu’une suite $(u_n)$ est décroissante, c’est-à-dire que pour tout entier $n$, $u_{n+1} \le u_n$, on peut utiliser l’une des quatre approches symétriques à celles de la croissance :
- Étudier le signe de la différence : On calcule $u_{n+1} – u_n$ et on montre que le résultat est négatif ou nul.
- Comparer le quotient à 1 : Si la suite est à termes strictement positifs, on peut calculer le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et montrer qu’il est inférieur ou égal à 1.
- Utiliser une fonction associée : Si la suite est de la forme $u_n = f(n)$, on peut étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0, +\infty[$. Si $f$ est décroissante, alors la suite $(u_n)$ l’est aussi.
- Le raisonnement par récurrence : Pour les suites définies par une relation de récurrence, on peut prouver la propriété $P(n) : « u_{n+1} \le u_n »$ par récurrence.
Exemple 1 : Le signe de la différence $u_{n+1} – u_n$
Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = -n^2 + 8n – 5$.
Calculons la différence $u_{n+1} – u_n$ :
$u_{n+1} – u_n = \left( -(n+1)^2 + 8(n+1) – 5 \right) – (-n^2 + 8n – 5)$
$= (-n^2 – 2n – 1 + 8n + 8 – 5) + n^2 – 8n + 5$
$= -n^2 + 6n + 2 + n^2 – 8n + 5$
$= -2n + 7$.
Nous devons étudier quand ce résultat est négatif :
$-2n + 7 \le 0 \iff 7 \le 2n \iff n \ge 3.5$.
Comme $n$ est un entier, cette condition est vraie pour $n \ge 4$.
Conclusion : La suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang 4.
Exemple 2 : La comparaison du quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1
Soit la suite $(u_n)$ définie pour $n \ge 1$ par $u_n = \frac{n}{3^n}$.
Les termes de la suite sont strictement positifs pour $n \ge 1$. Calculons le quotient :
$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n+1}{3^{n+1}} \div \frac{n}{3^n} = \frac{n+1}{3^{n+1}} \times \frac{3^n}{n}$
$= \frac{(n+1) \cdot 3^n}{3 \cdot 3^n \cdot n} = \frac{n+1}{3n}$.
Comparons ce quotient à 1 :
$\frac{n+1}{3n} \le 1 \iff n+1 \le 3n$ (car $3n > 0$)
$\iff 1 \le 2n \iff n \ge 0.5$.
Conclusion : La condition est vraie pour tout $n \ge 1$, donc la suite $(u_n)$ est décroissante sur $\mathbb{N}^*$.
Exemple 3 : L’étude de la fonction associée
Soit la suite $(u_n)$ définie pour $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = \frac{n+5}{n+1}$.
On pose $u_n = f(n)$ avec la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}_+$ par $f(x) = \frac{x+5}{x+1}$.
Étudions les variations de $f$ en calculant sa dérivée (forme u/v) :
$f'(x) = \frac{1(x+1) – 1(x+5)}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x-5}{(x+1)^2} = \frac{-4}{(x+1)^2}$.
Pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, le dénominateur $(x+1)^2$ est positif. Le numérateur est -4.
Donc, $f'(x) < 0$ sur $\mathbb{R}_+$, la fonction $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
Conclusion : La fonction $f$ étant décroissante, la suite $(u_n)$ est strictement décroissante pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Exemple 4 : Le raisonnement par récurrence
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 8$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3$.
Montrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \le u_n$.
Initialisation (pour n=0) :
On a $u_0 = 8$.
$u_1 = \frac{1}{2}u_0 + 3 = \frac{1}{2}(8) + 3 = 7$.
On a bien $u_1 \le u_0$ (car $7 \le 8$). La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité :
Supposons que pour un certain entier $k \ge 0$, on ait $u_{k+1} \le u_k$ (hypothèse de récurrence).
Montrons que $u_{k+2} \le u_{k+1}$.
On part de l’hypothèse de récurrence :
$u_{k+1} \le u_k$
On multiplie par $\frac{1}{2}$ (un nombre positif, l’inégalité ne change pas de sens) : $\frac{1}{2}u_{k+1} \le \frac{1}{2}u_k$.
On ajoute 3 de chaque côté : $\frac{1}{2}u_{k+1} + 3 \le \frac{1}{2}u_k + 3$.
Ce qui signifie, par définition de la suite : $u_{k+2} \le u_{k+1}$.
Conclusion :
La propriété est initialisée et héréditaire. Par le principe de récurrence, on a bien $u_{n+1} \le u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. La suite $(u_n)$ est donc décroissante.
- Le choix de la méthode est identique à celui pour la croissance : il dépend de la forme de la suite.
- N’oubliez pas les conditions d’application : pour le quotient, la suite doit être strictement positive.
- Une suite peut être décroissante seulement à partir d’un certain rang.
- Décroissante signifie $u_{n+1} \le u_n$, tandis que strictement décroissante signifie $u_{n+1} < u_n$. Soyez précis.