Comment Reconnaître un Projecteur Orthogonal
Un projecteur est une application linéaire $p$ qui, appliquée deux fois, donne le même résultat qu’une seule fois ($p \circ p = p$). Géométriquement, cela correspond à une projection sur un sous-espace parallèlement à un autre. Un projecteur est dit orthogonal si la direction de projection est orthogonale au sous-espace sur lequel on projette.
La façon la plus sûre d’identifier un projecteur orthogonal est de regarder sa matrice $P$ dans une base orthonormale (comme la base canonique). Un endomorphisme $p$ est un projecteur orthogonal si et seulement si sa matrice $P$ vérifie deux conditions :
- Elle doit être idempotente : $P^2 = P$. (C’est la condition pour être un projecteur).
- Elle doit être symétrique : $P^T = P$. (C’est la condition qui garantit que la projection est orthogonale).
Si ces deux conditions sont remplies, alors $P$ est la matrice d’un projecteur orthogonal.
Exemple 1 : Un projecteur orthogonal
Soit la matrice $P = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.
1. Test de symétrie : $P^T = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = P$. La matrice est bien symétrique.
2. Test d’idempotence :
$P^2 = \left(\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\right) \left(\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\right) = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = P$.
Conclusion : $P$ est la matrice d’un projecteur orthogonal (la projection sur la droite $y=x$).
Exemple 2 : Un projecteur non orthogonal
Soit la matrice $P = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
1. Test d’idempotence :
$P^2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = P$. C’est bien un projecteur.
2. Test de symétrie :
$P^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \neq P$. La matrice n’est pas symétrique.
Conclusion : $P$ est un projecteur, mais il n’est pas orthogonal.
Exemple 3 : Une matrice symétrique qui n’est pas un projecteur
Soit la matrice $S = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & -2 \\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$.
1. Test de symétrie : La matrice est clairement symétrique, $S^T=S$.
2. Test d’idempotence :
$S^2 = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & -2 \\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & -2 \\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} = I$.
Comme $S^2 = I \neq S$, ce n’est pas un projecteur.
Conclusion : $S$ est une matrice symétrique, mais pas un projecteur. (C’est en fait une symétrie orthogonale).
Un projecteur $p$ est orthogonal si et seulement si son noyau et son image sont des sous-espaces orthogonaux l’un à l’autre :
$\text{Ker}(p) = (\text{Im}(p))^\perp$
Cela signifie que l’espace entier se décompose en une somme directe orthogonale $E = \text{Im}(p) \oplus \text{Ker}(p)$.