Comment trouver les valeurs propres d’une matrice
Les valeurs propres (eigenvalues) d’une matrice carrée $A$ sont des scalaires spéciaux $\lambda$ qui, associés à des vecteurs non nuls appelés vecteurs propres (eigenvectors), satisfont l’équation $Av = \lambda v$. En d’autres termes, appliquer la matrice $A$ au vecteur $v$ revient à simplement étirer ou contracter $v$ d’un facteur $\lambda$.
Pour trouver les valeurs propres d’une matrice $A$ de taille $n \times n$, on suit ces étapes :
- Former la matrice $A – \lambda I$, où $I$ est la matrice identité de même taille que $A$ et $\lambda$ est une inconnue.
- Calculer le déterminant de cette matrice : $\det(A – \lambda I)$. Le résultat est un polynôme en $\lambda$ appelé le polynôme caractéristique.
- Résoudre l’équation caractéristique : $\det(A – \lambda I) = 0$.
- Les solutions (racines) de cette équation sont les valeurs propres de la matrice $A$.
Exemple 1 : Matrice 2×2 avec valeurs propres distinctes
Soit la matrice $ A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $.
1. Calculer $\det(A – \lambda I)$ :
$A – \lambda I = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} – \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-\lambda & -2 \\ 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}$
$\det(A – \lambda I) = (4-\lambda)(1-\lambda) – (-2)(1) = 4 – 4\lambda – \lambda + \lambda^2 + 2 = \lambda^2 – 5\lambda + 6$
2. Résoudre l’équation caractéristique :
$\lambda^2 – 5\lambda + 6 = 0$
On peut factoriser : $(\lambda – 2)(\lambda – 3) = 0$.
Les solutions sont $\lambda_1 = 2$ et $\lambda_2 = 3$. Ce sont les deux valeurs propres de A.
Exemple 2 : Matrice 3×3
Soit la matrice $ B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} $.
1. Calculer $\det(B – \lambda I)$ :
$\det(B – \lambda I) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix}$
En utilisant la règle de Sarrus :
$= (2-\lambda)^3 + 1 + 1 – [ (2-\lambda) + (2-\lambda) + (2-\lambda) ]$
$= (8 – 12\lambda + 6\lambda^2 – \lambda^3) + 2 – 3(2-\lambda)$
$= 8 – 12\lambda + 6\lambda^2 – \lambda^3 + 2 – 6 + 3\lambda$
$= -\lambda^3 + 6\lambda^2 – 9\lambda + 4$
2. Résoudre $-\lambda^3 + 6\lambda^2 – 9\lambda + 4 = 0$ :
On cherche une racine évidente. Testons $\lambda = 1$ : $-(1)^3 + 6(1)^2 – 9(1) + 4 = -1 + 6 – 9 + 4 = 0$. Donc, $\lambda_1 = 1$ est une valeur propre.
On peut factoriser le polynôme par $(\lambda – 1)$. Après division polynomiale (ou identification), on obtient :
$(-\lambda^2 + 5\lambda – 4)(\lambda – 1) = 0$.
On résout $-\lambda^2 + 5\lambda – 4 = 0$ (ou $\lambda^2 – 5\lambda + 4 = 0$).
$(\lambda – 1)(\lambda – 4) = 0$. Les racines sont $\lambda = 1$ et $\lambda = 4$.
Les valeurs propres de B sont donc $\lambda_1 = 4$ et $\lambda_2 = 1$ (qui est une valeur propre de multiplicité 2).
Exemple 3 : Matrice triangulaire
Soit la matrice $ C = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} $.
1. Calculer $\det(C – \lambda I)$ :
$\det(C – \lambda I) = \begin{vmatrix} 5-\lambda & 2 & 0 \\ 0 & 5-\lambda & 1 \\ 0 & 0 & -3-\lambda \end{vmatrix}$
C’est le déterminant d’une matrice triangulaire. Il est donc égal au produit de ses éléments diagonaux.
$\det(C – \lambda I) = (5-\lambda)(5-\lambda)(-3-\lambda) = (5-\lambda)^2(-3-\lambda)$
2. Résoudre l’équation caractéristique :
$(5-\lambda)^2(-3-\lambda) = 0$
Les racines sont immédiatement visibles : $\lambda_1 = 5$ (avec une multiplicité de 2) et $\lambda_2 = -3$.
Pour une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure), les valeurs propres sont simplement les éléments de sa diagonale. C’est l’un des grands intérêts de la triangularisation des matrices.