Le théorème des gendarmes, aussi appelé théorème de l’encadrement ou « théorème du sandwich », est l’une des méthodes les plus intuitives pour déterminer la limite d’une suite. L’idée est simple : si une suite est « prise en tenaille » entre deux autres suites (les gendarmes) qui se dirigent vers la même destination (la même limite), alors la suite du milieu n’a pas d’autre choix que de les suivre.
Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites de nombres réels.
S’il existe un rang $N$ à partir duquel on a l’encadrement :
$v_n \le u_n \le w_n$ pour tout $n \ge N$
Et si les deux suites « gendarmes » $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $L$ :
$\lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} w_n = L$
Alors, la suite $(u_n)$ converge également vers $L$ : $\lim_{n \to \infty} u_n = L$.
La Stratégie en 3 Étapes
L’application du théorème suit toujours le même schéma :
- Étape 1 : Construire l’encadrement. C’est souvent l’étape la plus créative. Il faut partir d’une inégalité connue (comme $-1 \le \sin(x) \le 1$) et la manipuler pour faire apparaître l’expression de la suite $u_n$ au centre.
- Étape 2 : Calculer les limites des gendarmes. On calcule séparément la limite de la suite de gauche ($v_n$) et de celle de droite ($w_n$).
- Étape 3 : Conclure. Si les deux limites sont finies et égales, on peut conclure grâce au théorème. Si elles sont différentes ou infinies, le théorème ne s’applique pas.
Exemple 1 : Le Classique avec Cosinus
Soit la suite $(u_n)$ définie pour $n \ge 1$ par $u_n = \frac{5n + \cos(n^2)}{n}$.
Étape 1 (Encadrement) :
On part de l’inégalité de base pour le cosinus, quel que soit son argument :
$-1 \le \cos(n^2) \le 1$.
On ajoute $5n$ à chaque membre : $5n – 1 \le 5n + \cos(n^2) \le 5n + 1$.
On divise par $n$ (qui est strictement positif) : $\frac{5n-1}{n} \le u_n \le \frac{5n+1}{n}$.
Soit : $5 – \frac{1}{n} \le u_n \le 5 + \frac{1}{n}$.
Étape 2 (Limites des gendarmes) :
- Gendarme de gauche : $\lim_{n \to \infty} (5 – \frac{1}{n}) = 5 – 0 = 5$.
- Gendarme de droite : $\lim_{n \to \infty} (5 + \frac{1}{n}) = 5 + 0 = 5$.
Étape 3 (Conclusion) :
Les deux gendarmes convergent vers la même limite 5. Donc, par le théorème des gendarmes, on conclut que $\lim_{n \to \infty} u_n = 5$.
Exemple 2 : Avec une Somme
Soit la suite $(u_n)$ définie pour $n \ge 1$ par $u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2+k}$.
Étape 1 (Encadrement) :
L’idée est d’encadrer chaque terme de la somme. Pour $k$ variant de 1 à $n$, on a :
$n^2+1 \le n^2+k \le n^2+n$.
En passant à l’inverse (ce qui change le sens des inégalités) :
$\frac{1}{n^2+n} \le \frac{1}{n^2+k} \le \frac{1}{n^2+1}$.
On multiplie par $n$ : $\frac{n}{n^2+n} \le \frac{n}{n^2+k} \le \frac{n}{n^2+1}$.
Enfin, on somme ces inégalités pour $k$ de 1 à $n$. Comme il y a $n$ termes identiques dans la somme des bornes :
$\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2+n} \le u_n \le \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2+1}$.
$n \times \frac{n}{n^2+n} \le u_n \le n \times \frac{n}{n^2+1}$.
$\frac{n^2}{n^2+n} \le u_n \le \frac{n^2}{n^2+1}$.
Étape 2 (Limites des gendarmes) :
- Gendarme de gauche : $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2+n} = 1$ (limite d’une fraction rationnelle).
- Gendarme de droite : $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2+1} = 1$.
Étape 3 (Conclusion) :
Les deux gendarmes convergent vers 1. Donc, par le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to \infty} u_n = 1$.
- Indice n°1 : Fonctions trigonométriques. La présence de $\sin(n)$ ou $\cos(n)$ est un signal fort, car elles sont naturellement bornées par -1 et 1.
- Indice n°2 : Partie entière. La fonction partie entière $E(x)$ vérifie l’encadrement $x-1 < E(x) \le x$.
- Indice n°3 : Factorielles et sommes. Comme dans l’exemple 2, on peut souvent encadrer chaque terme pour borner l’expression globale.
- Attention : Le théorème ne fonctionne que pour prouver une convergence. Pour prouver une divergence vers $\pm\infty$, on utilise un théorème de comparaison (si $v_n \le u_n$ et $v_n \to +\infty$, alors $u_n \to +\infty$).