L’image d’une application linéaire $f$, notée $\text{Im}(f)$, est l’ensemble de toutes les « sorties » possibles de l’application. C’est le sous-espace de l’espace d’arrivée qui est « atteint » par au moins un vecteur de l’espace de départ. Déterminer l’image est crucial pour connaître le rang de l’application et savoir si elle est surjective.
Soit $f: E \to F$ une application linéaire, et soit $\mathcal{B} = (e_1, e_2, \dots, e_n)$ une base de l’espace de départ $E$.
L’image de $f$ est le sous-espace vectoriel de $F$ engendré par les images des vecteurs de la base $\mathcal{B}$.
$\text{Im}(f) = \text{Vect}(f(e_1), f(e_2), \dots, f(e_n))$
La méthode est donc la suivante :
- Prendre une base simple de l’espace de départ $E$ (le plus souvent, la base canonique).
- Calculer l’image par $f$ de chaque vecteur de cette base.
- La famille de vecteurs que vous obtenez est une famille génératrice de $\text{Im}(f)$.
- Attention : cette famille n’est pas forcément une base (elle peut être liée). Pour trouver une base de l’image (et donc sa dimension), il faut en extraire une sous-famille libre.
Exemple : Image de l’application de l’article précédent
Reprenons l’application $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ définie par $g(x, y, z) = (x+y-z, 2x+z)$. Calculons son image.
1. Prendre la base canonique de $\mathbb{R}^3$ :
Soit $\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$, avec $e_1=(1,0,0)$, $e_2=(0,1,0)$ et $e_3=(0,0,1)$.
2. Calculer l’image de chaque vecteur de la base :
- $g(e_1) = g(1,0,0) = (1+0-0, 2(1)+0) = (1, 2)$
- $g(e_2) = g(0,1,0) = (0+1-0, 2(0)+0) = (1, 0)$
- $g(e_3) = g(0,0,1) = (0+0-1, 2(0)+1) = (-1, 1)$
3. En déduire une famille génératrice de l’image :
Par définition, l’image de $g$ est engendrée par ces trois vecteurs :
$\text{Im}(g) = \text{Vect}((1,2), (1,0), (-1,1))$.
4. Extraire une base de l’image :
Nous avons une famille génératrice de 3 vecteurs dans $\mathbb{R}^2$, qui est un espace de dimension 2. Cette famille est donc nécessairement liée. Pour trouver une base, il suffit de trouver 2 vecteurs libres parmi les 3.
Prenons les deux premiers : $(1,2)$ et $(1,0)$. Sont-ils libres ? Oui, car ils ne sont pas colinéaires.
Puisqu’on a une famille libre de 2 vecteurs dans un espace de dimension 2 ($\mathbb{R}^2$), cette famille est une base de $\mathbb{R}^2$.
La famille $((1,2), (1,0))$ est une base de $\text{Im}(g)$. On en déduit deux choses :
- La dimension de l’image, appelée le rang de $g$, est 2. On note $\text{rg}(g) = 2$.
- Puisque $\text{Im}(g)$ est un sous-espace de $\mathbb{R}^2$ de dimension 2, on a $\text{Im}(g) = \mathbb{R}^2$. L’application $g$ est donc surjective.
Bonus (Théorème du rang) : Dans l’article précédent, nous avions trouvé $\dim(\ker(g))=1$. On peut vérifier le théorème : $\dim(\ker(g)) + \text{rg}(g) = 1 + 2 = 3 = \dim(\mathbb{R}^3)$. La cohérence est parfaite !