La notion de compacité est un concept fondamental en analyse et en topologie qui formalise l’idée intuitive d’un ensemble « borné et sans divergent vers l’infini ».
Définition formelle : Compacité via les recouvrements ouverts
Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique. Un sous-ensemble $K \subseteq X$ est dit compact si pour tout recouvrement ouvert $\mathcal{U} = \{U_i\}_{i \in I}$ de $K$ (c’est-à-dire $K \subseteq \bigcup_{i \in I} U_i$ avec chaque $U_i \in \mathcal{T}$), il existe un sous-recouvrement fini. Autrement dit, on peut extraire un nombre fini d’ouverts $U_{i_1}, \dots, U_{i_n}$ tels que $K \subseteq U_{i_1} \cup \dots \cup U_{i_n}$.
Définition équivalente : Compacité séquentielle (espaces métriques)
Dans un espace métrique $(E,d)$, un ensemble $K$ est compact si et seulement si toute suite $(x_n)$ à valeurs dans $K$ admet une sous-suite convergente vers une limite appartenant à $K$. Cette caractérisation est souvent plus intuitive pour les applications en analyse.
Théorème central : Heine-Borel dans $\mathbb{R}^n$
Dans $\mathbb{R}^n$ muni de la topologie euclidienne usuelle, un sous-ensemble $K$ est compact si et seulement si il est fermé et borné.
Énoncé précis
Soit $K \subseteq \mathbb{R}^n$. Alors :
$$
K \text{ est compact } \iff (K \text{ est fermé}) \land (K \text{ est borné}).
$$
Cette équivalence est spécifique aux espaces vectoriels réels de dimension finie et ne s’étend pas aux espaces de dimension infinie.
Preuve de la condition nécessaire : compact $\Rightarrow$ fermé et borné
1. Compact $\Rightarrow$ Fermé
Supposons $K$ compact. Montrons que son complémentaire $X \setminus K$ est ouvert. Soit $x \in X \setminus K$. Pour tout $y \in K$, comme $x \neq y$, il existe une boule ouverte $B_y$ centrée en $y$ et un voisinage $V_y$ de $x$ disjoints (en utilisant l’axiome de séparation des espaces métriques). La collection $\{B_y\}_{y \in K}$ recouvre $K$. Par compacité, on en extrait un sous-recouvrement fini $\{B_{y_1}, \dots, B_{y_n}\}$. Alors $V = \bigcap_{k=1}^n V_{y_k}$ est un voisinage ouvert de $x$ et $V \cap K = \emptyset$. Ainsi $x \in V \subseteq X \setminus K$, donc $X \setminus K$ est ouvert et $K$ est fermé.
2. Compact $\Rightarrow$ Borné
Considérons le recouvrement de $K$ par les boules ouvertes de centre $0$ et de rayon $m \in \mathbb{N}^$ : $\mathcal{U} = \{ B(0,m) \mid m \in \mathbb{N}^ \}$. Comme $K$ est compact, il existe un sous-recouvrement fini. Soit $M$ le plus grand rayon parmi ces boules. Alors $K \subseteq B(0,M)$, donc $K$ est borné.
Preuve de l’équivalence dans $\mathbb{R}^n$ (Heine-Borel) – Partie 1 (nécessaire) terminée. $lacksquare$
Preuve de la condition suffisante : fermé et borné $\Rightarrow$ compact
Soit $K$ fermé et borné dans $\mathbb{R}^n$. Il est contenu dans une boîte rectangulaire (produit d’intervalles $[a_i, b_i]$) qui est elle-même compacte comme produit fini d’intervalles compacts de $\mathbb{R}$. Il suffit donc de montrer qu’un fermé dans un compact est compact. Soit $\mathcal{U}$ un recouvrement ouvert de $K$. Puisque $K$ est fermé dans $\mathbb{R}^n$, son complémentaire est ouvert. Alors $\mathcal{U} \cup \{ \mathbb{R}^n \setminus K \}$ est un recouvrement ouvert du cube compact contenant $K$. Par compacité de ce cube, on en extrait un sous-recouvrement fini. Si $\mathbb{R}^n \setminus K$ est présent dans ce sous-recouvrement, on le supprime : les ouverts restants recouvrent déjà $K$. Ainsi $K$ admet un sous-recouvrement fini issu de $\mathcal{U}$.
Preuve de l’équivalence dans $\mathbb{R}^n$ (Heine-Borel) – Partie 2 (suffisante) terminée. $lacksquare$
Exemples et contre-exemples
Exemples compacts de $\mathbb{R}$
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$[a,b]$ avec $a \leq b$ est compact par Heine-Borel (fermé et borné).
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Tout ensemble fini est compact (tout recouvrement admet un sous-recouvrement fini évident).
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Le cercle unité $S^1 = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2 = 1 \}$ est fermé et borné, donc compact.
Contre-exemples : Ensembles non compacts
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$(0,1)$ dans $\mathbb{R}$ : borné mais non fermé. Recouvrement par $U_n = (\frac{1}{n}, 1)$ pour $n \in \mathbb{N}^*$. Aucun sous-recouvrement fini ne couvre $0$.
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$\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ : fermé mais non borné. Recouvrement par $B(0,n)$ : un nombre fini de boules ne peut couvrir tous les entiers.
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$\mathbb{R}$ lui-même : non borné. Recouvrement par $(-n, n)$ sans sous-recouvrement fini.
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L’intervalle $[0,1[$ : non fermé, donc non compact.
Propriétés essentielles de la compacité
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Fermé dans un compact est compact : Si $K$ est compact et $F \subseteq K$ est fermé dans $K$, alors $F$ est compact.
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Image continue d’un compact est compact : Si $f: E \to F$ est continue et $K \subseteq E$ compact, alors $f(K)$ est compact dans $F$. Cela implique le théorème des valeurs intermédiaires généralisé et l’existence d’un maximum/minimum.
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Compact $\Rightarrow$ Complet : Tout espace métrique compact est complet. La réciproque est fausse ($\mathbb{R}$ est complet mais non compact).
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Stabilité par produit fini : Un produit fini d’espaces compacts est compact (Théorème de Tychonoff pour un produit fini).
Généralisations et cadres plus vastes
La définition par recouvrements ouverts est la définition topologique générale, valable sans métrique. En topologie générale, l’équivalence « compact $\iff$ séquentiellement compact » n’est plus vraie en général ; il faut des axiomes supplémentaires (comme la première countabilité). La compacité joue un rôle crucial pour garantir des propriétés de minimisation ou d’optimisation. Pour approfondir les liens avec la topologie générale, consultez les ressources de la Société Mathématique de France.
La compacité est donc un outil indispensable pour assurer la « bonne » comportement des fonctions continues et des suites. Pour des exercices corrigés et un cours complet sur ce sujet et d’autres du supérieur, rendez-vous sur KeepMath.