Formule de Composition des Différentielles
La « règle de la chaîne » (ou « chain rule ») est l’un des théorèmes les plus puissants du calcul différentiel. Elle explique comment différentier la composition de deux fonctions. Si la différentielle représente la meilleure approximation linéaire d’une fonction, alors la différentielle de la composée est logiquement la composition des approximations linéaires.
1. Le Théorème de Composition
Le théorème s’énonce de la manière la plus élégante en utilisant les applications différentielles.
[Image d’un diagramme de composition de fonctions g o f]
Soient $U \subset \mathbb{R}^p$ et $V \subset \mathbb{R}^n$ des ouverts.
Soient $f: U \to V$ et $g: V \to \mathbb{R}^m$ deux fonctions.
Si $f$ est différentiable en un point $a \in U$, et si $g$ est différentiable au point $b = f(a) \in V$, alors la fonction composée $h = g \circ f$ est différentiable en $a$.
De plus, sa différentielle est la composée des applications linéaires différentielles : $$ d(g \circ f)_a = dg_{f(a)} \circ df_a $$
2. Traduction Matricielle : le Produit des Jacobiennes
En algèbre linéaire, la composition d’applications linéaires se traduit par le produit de leurs matrices représentatives. Ce principe s’applique directement ici.
La matrice jacobienne de la fonction composée $g \circ f$ au point $a$ est le produit matriciel de la matrice jacobienne de $g$ évaluée en $f(a)$ par la matrice jacobienne de $f$ évaluée en $a$. $$ J_{g \circ f}(a) = J_g(f(a)) \cdot J_f(a) $$ En termes de dimensions de matrices : $$ (m \times p) = (m \times n) \cdot (n \times p) $$
3. Formule Explicite pour les Dérivées Partielles
En développant le produit matriciel, on obtient la formule pratique pour calculer la dérivée partielle de n’importe quelle composante de la fonction composée.
Soient $h = g \circ f$, $x=(x_1, \dots, x_p)$ les variables de $f$, et $y=(y_1, \dots, y_n)$ les variables de $g$. L’élément à la ligne $k$ et colonne $j$ de la matrice $J_{g \circ f}(a)$ est $\frac{\partial h_k}{\partial x_j}(a)$. Il est obtenu en faisant le produit de la $k$-ième ligne de $J_g(f(a))$ par la $j$-ième colonne de $J_f(a)$.
$$ \frac{\partial h_k}{\partial x_j}(a) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial g_k}{\partial y_i}(f(a)) \cdot \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a) $$
Exemple d’Application
Soient $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ et $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ définies par : $$ f(x,y) = (xy, x+y, x-y) $$ $$ g(u,v,w) = (u+v+w, uvw) $$ Calculons la matrice jacobienne de $h = g \circ f$ au point $a=(1,2)$.
- Calculer $f(a)$ : $$ f(1,2) = (1 \cdot 2, 1+2, 1-2) = (2, 3, -1) $$ C’est en ce point qu’il faudra évaluer la jacobienne de $g$.
- Calculer $J_f(x,y)$ et l’évaluer en $a=(1,2)$ : $$ J_f(x,y) = \begin{pmatrix} y & x \\ 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \implies J_f(1,2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$
- Calculer $J_g(u,v,w)$ et l’évaluer en $f(a)=(2,3,-1)$ : $$ J_g(u,v,w) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ vw & uw & uv \end{pmatrix} \implies J_g(2,3,-1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -3 & -2 & 6 \end{pmatrix} $$
- Calculer le produit des matrices : $$ J_{g \circ f}(1,2) = J_g(2,3,-1) \cdot J_f(1,2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -3 & -2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$ $$ J_{g \circ f}(1,2) = \begin{pmatrix} 1(2)+1(1)+1(1) & 1(1)+1(1)+1(-1) \\ -3(2)-2(1)+6(1) & -3(1)-2(1)+6(-1) \end{pmatrix} $$ $$ J_{g \circ f}(1,2) = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & -11 \end{pmatrix} $$