Condition pour une Inversion Locale
Le théorème d’inversion locale est un outil puissant pour garantir qu’une fonction est localement bijective et que son inverse est régulière. Cependant, son application est soumise à des conditions strictes qui doivent être vérifiées. Ces conditions portent sur la régularité de la fonction et sur l’inversibilité de son approximation linéaire.
1. Les Conditions d’Application du Théorème
Pour qu’une fonction $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^p$ soit localement inversible autour d’un point $a \in U$, les conditions suivantes doivent être remplies :
- Régularité de la fonction : La fonction $f$ doit être de classe C¹ sur l’ouvert $U$. Cette condition assure que la fonction est suffisamment « lisse » et que son approximation linéaire (la différentielle) varie de manière continue.
- Même dimension de départ et d’arrivée : Le théorème ne s’applique qu’aux fonctions qui vont d’un espace à un autre de même dimension ($f: \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^p$). On ne peut pas « inverser » une fonction qui change la dimension, comme une courbe dans l’espace ($f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$).
- Inversibilité de la différentielle (Condition clé) : La différentielle de $f$ au point $a$, $df_a$, doit être une application linéaire inversible. Cela se traduit par une condition sur sa matrice jacobienne : $$ \det(J_f(a)) \neq 0 $$
2. La Condition Clé : le Jacobien Non Nul
La condition la plus importante est de loin la non-nullité du déterminant jacobien (le « Jacobien »).
- Point de vue de l’algèbre linéaire : La matrice jacobienne $J_f(a)$ est la matrice de l’application linéaire $df_a$. Une application linéaire (représentée par une matrice carrée) est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Cette condition garantit donc que l’approximation linéaire de $f$ est elle-même inversible.
- Point de vue géométrique : La valeur absolue du Jacobien, $|\det(J_f(a))|$, représente le facteur local de changement de volume (ou d’aire en 2D). Si le Jacobien est nul, cela signifie que la fonction « écrase » l’espace dans au moins une direction. Une transformation qui écrase le volume ne peut pas être inversée, car on perd de l’information. Par exemple, projeter un objet 3D sur un plan 2D est une opération non inversible.
3. Que se Passe-t-il si la Condition Échoue ?
Si $\det(J_f(a)) = 0$, le théorème ne s’applique pas. Le point $a$ est appelé un point critique de la fonction $f$. En un tel point, on ne peut rien conclure sur l’inversibilité locale.
Exemple d’Échec
Soit la fonction $f(x,y) = (x^2, y)$.
- Jacobienne : $J_f(x,y) = \begin{pmatrix} 2x & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
- Jacobien : $\det(J_f(x,y)) = 2x$.
- Analyse :
- Si $x \neq 0$, le Jacobien est non nul et la fonction est localement inversible.
- Si $x = 0$ (sur l’axe des ordonnées), le Jacobien est nul. Le théorème ne s’applique pas. En effet, la fonction n’est pas inversible localement autour d’un point $(0,y_0)$. Par exemple, les points $(\varepsilon, y_0)$ et $(-\varepsilon, y_0)$ sont deux points distincts qui ont la même image $(\varepsilon^2, y_0)$. La fonction n’est pas injective au voisinage de l’axe des $y$.